Dice asi: Sea \(G\) la coleccion de todas las bolas \(B(q,r)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) con centro \(q \in \mathbb{Q}^{n}\) y radio racional \(r\). Sea \(S\subset \mathbb{R}^{n}\) abierto y \(x \in S\). Probar que existe \(B \in G\) tal que \(x \in B \subseteq G\)
Yo hice lo siguiente:
Como \(S\) es abierto, entonces se que para todo punto de \(S\)existe un radio talque la bola centrada en cualquier punto y con ese radio esta contenida en \(S\). Entonces, dado \(x \in S\) y sea \(r' >0, B(x,r') \subset S\). Lo que voy a buscar son \(q_{1} \in \mathbb{Q}^{n}, q_{2} \in \mathbb_{Q}\) talque \(B(x,r')\subset B(q_{1},q_{2})\)
Por densidad de \(\mathbb{Q}^{n}\) en \(\mathbb{R}^{n}\) existe \(q_{1} \in \mathbb{Q}^{n}\) tal que \(\parallel x - q_{1} \parallel < \epsilon\). Luego, \(x \in B(q_{1}, \epsilon)\). Tambien, por densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\) existe \(q_{2} \backslash q_{2}< \epsilon\). Entonces \(x \in B(q_{1},\epsilon) \subseteq B(q_{1}, q_{2}) \in G\)
Fijate que debería decir \(||x-{q}_{1}||<\epsilon\), y \(0<{q}_{2}<\epsilon\). Por otro lado, lo que querés probar es que \(B({q}_{1},{q}_{2})\subseteq B(x,r')\), no la otra inclusión. Y esto no vale en general con los \(\epsilon\) que tomaste. Fijate que tendrías que ver \(y\in B({q}_{1},{q}_{2})\), querés ver que \(y\in B(x,\epsilon)\). Para eso, tenés que acotar \(||y-x||\). Lo natural sería:
Ahora... querés que quede menor que \(r'\) todo lo anterior. De ahi que \(\epsilon<\frac{r'}{2}\).
O sea... la idea que pusiste es lo que tenés que hacer, pero hay que refinarla.
Espero que se entienda.
Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Dado la bola q tengo por definicion no quiero yo encontrar una bola mas GRANDE con centro y radio racional??? porq si x esta en la chica tmb ca a estar en la grande q es racional, q es lo q quiero probar