[Resuelto], P(1-1C 2009)-8 (c),(d)

Estreno esta sección., con un ejercicio elemental, como excusa para poner algo adicional.
(c)Encontrar una sucesión no convergente \({({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}\) que verifique \(\lim_{n\rightarrow +\infty} |{a}_{n}-{a}_{n+1}|\eq=0\)
Dado que una sucesión puede ser no convergente pues tiende a \(+\infty\), notando que \({a}_{n}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{n}\) es divergente, y:
\(|{a}_{n}-{a}_{n+1}|\eq=\frac{1}{n+1}\rightarrow 0\), tenemos la sucesión buscada.
(c')Igual que (c), pero ahora \({({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq{R}\) debe ser no convergente y acotada.
Para resolver este ejercicio, tenemos que usar un resultado de series, y es que dada una serie condicionalmente convergente, dados \(K<K'\), existe un reordenamiento de la serie tal que su límite inferior y superior sean \(K,K'\) respectivamente. Más aún, ese reordenamiento se puede elegir tal que el término general converga a \(0\)(esto se ve en taller. La idea es sumar términos positivos hasta excederse de \(K'\), luego términos negativos hasta pasarse de \(K\), luego... como el término general tiende a \(0\), se tiene que las sumas cada vez están más pegadas de \(K'\) o \(K\)(recordar que son condicionalmente convergentes, con lo que las series de los términos positivos y negativos divergen). Esto no pretende ser una demostración. En taller se prueba este resultado(al menos en mi cursada vimos el bosquejo de la idea, y su formalización no es tan molesta como parece). En fin, con este resultado, podemos construir la \({({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\) como se pide:

da la serie condicionalmente convergente \(\sum_{n\eq=1}^{+\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{n}\). Estamos en la hipótesis del enunciado, con lo que existe un reordenamiento de la serie \({b}_{n}\eq=\aum:{i\eq=1}^{n}{c}_{i}\) que verifica que sus límites de oscilación sean \(K'<K\), luego son distintos con lo que diverge y por ser finitos, está acotada. Además \({c}_{n}\rightarrow 0\) por el enunciado del teorema. Luego, tenemos como antes: Luego esta sucesión exhibida verifica lo pedido. (d)Analizar la situación del inciso (c) pero con la condición \(\lim_{n\rightarrow +\infty} |{a}_{n}-{a}_{n+p}|\eq=0,\forall p\in \mathbb{N}\). Explicar por qué la respuesta no contradice ningún resultado conocido. Sirve la misma sucesión de (c), pues: (el \(p\) una vez elegido está fijo, y no depende de \(n\)) Con respecto a la segunda parte, el resultado conocido que parecería contradecido es el de que toda sucesión de Cauchy en los reales(con la métrica usual \({d}_{1}\)) converge. Esto no se ve contradecido, puesto que, de serlo, se debería verificar: \(|{a}_{n}-{a}_{m}|<\epsilon\) para \(n,m\geq N\) propiedad que no verifica la sucesión \({a}_{n}\)(una serie de números reales es convergente sii es de Cauchy) En particular, está fallando que \(p\) no depende de \(n\) Espero que sirva. Próximamente, más ejercicios(mañana-hoy...)

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities