EJERCICIO 1:
Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sean \(C \subseteq X\) cerrado y\(K \subseteq X\) compacto disjuntos. Probar que existe un \(\varepsilon >0\) tal que \(B(C,\varepsilon)\) y \(B(K, \varepsilon)\) son disjuntas.
EJERCICIO 2:
Sea \((M,d)\) un espacio métrico compacto y sea \(f: M \rightarrow M\) una función continua tal que \(d(f(x),f(y))=d(x,y)\) para todos x e y en \(M\) con x\(\neq\) y. Probar que \(f\) tiene un único punto fijo. SEGERENCIA: considerar la función \(g: M \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(g(x)= d(x,f(x)).\)
EJERCICIO 3:
Sea \({C}^{1}[a,b]=\lbrace f\in C[a,b] : \exists f`,f` \in C[a,b]\rbrace.\) En \({C}^{1}[a,b]\) consideramos la siguiente norma, \({\Vert f \Vert}_{{C}^{1}}\)= \({\Vert f \Vert}_{\infty}+{\Vert f` \Vert}_{\infty}\). Probar que \(({C}^{1}[a,b], {\Vert . \Vert}_{{C}^{1}})\) es un epacio de Banach.
EJERCICIO 4:
Sea \(A = \lbrace t(cos(\frac{\pi}{1-t}), sen(\frac{\pi}{1-t})) : t [0,1)\rbrace \subseteq {\mathbb{R}}^{2}\). Probar que \(A \cup \partial B(0,1)\) es conexo y que \(\overline{B}(0,1)-A\) también lo es. Hallar las componentes arcoconexas de ambos conjuntos.
EJERCICIO 5:
Sea \(C \subseteq {\mathbb{R}}^{2}\) un conjunto convexo y acotado tal que \(0\in {C}^{o}\). Para cada \(x\in {S}^{1}\) definimos \({s}_{x}= sup \lbrace s\in \mathbb{R}: sx \in C \rbrace\), donde \({S}^{1}=\lbrace ({x}_{1},{x}_{2})\in {\mathbb{R}}^{2}: {\Vert ({x}_{1},{x}_{2}) \Vert}_{2} =1\rbrace\) (a) Probar que \(\partial C=\lbrace {s}_{x}.x : x\in {S}^{1} \rbrace\) (b) Probar que \(\partial (tC)\cap \partial (t`C)=\emptyset\) si t y t` son números reales positivos distintos. (c) Probar que existe un número real t tal que \(\partial (tC)\cap {\mathbb{Q}}^{2}=\emptyset\)
(1)
Veamos que \(d(K,C)>0\).Si fuera \(d(K,C)=0\) ,existirían \((k_{n})\subseteq K\) y \((c_{n})\subseteq C\) tal que \(d(k_{n},c_{n})\rightarrow 0\).Como \(K\) es compacto,existe \(k_{n_{j}}\) subsucesión convergente(digamos \(k_{n_{j}}\rightarrow x\in K\)).Luego \(d(x,c_{n_{j}})\leq d(x,k_{n_{j}})+d(k_{n_{j}},c_{n_{j}})\rightarrow 0\),con lo cual \(x\in C\), y esto contradice el hecho de que sean disjuntos.
Así,podemos tomar \(\epsilon=\dfrac{d(K,C)}{2}\) .Con esto \(B(K,\epsilon)\cap B(C,\epsilon)=\emptyset\) .En efecto,si existiera \(y\in B(K,\epsilon)\cap B(C,\epsilon)\),entonces existen \(k\in K\) y \(c\in C\) tal que \(d(k,y)<\epsilon\) y \(d(c,y)<\epsilon\). Entonces \(d(k,c)\leq d(k,y)+d(y,c)<2\epsilon=d(K,C)\), lo cual es absurdo.
(2)(supongo que debe ser \(d(f(x),f(y))<d(x,y)\) con \(x\neq y\),pues por ejemplo \(id:[0,1]\rightarrow [0,1]\), verifica las hipótesis pero no tiene un único punto fijo) unicidad:si \(x,y\) son puntos fijos distintos,entonces \(d(f(x),f(y))<d(x,y)=d(f(x),f(y))\),lo cual es absurdo. existencia:si \(f\) no tiene punto fijo,entonces \(d(x,f(x))>0\quad \forall x\in M\). Por lo tanto la función \(g:M\rightarrow \mathbb{R},\quad g(x)=d(x,f(x))\) es positiva en un compacto,entonces existe \(x_{0}\in M\) tal que \(0<d(x_{0},f(x_{0}))\leq d(x,f(x))\quad \forall x\in M\).Como \(x_{0}\neq f(x_{0})=z, d(z,f(z))=d(f(x_{0}),f(f(x_{0}))=d(f(x_{0}),f(z))<d(x_{0},f(x_{0}))\Rightarrow d(z,f(z))<d(x_{0},f(x_{0}))\) que contradice que \(x_{0}\) es mínimo.
(3)
Sea \(f_{n}\) una sucesión de Cauchy en \((C^{1}[a,b],\|.\|_{C^{1}})\), entonces \(\forall \epsilon>0\), existe \(n_{0}\) tal que \(\forall n\geq n_{0}\), se tiene \(\|f_{n}-f_{m}\|_{C^{1}}=\|f_{n}-f_{m}\|_{\infty}+\|f'_{n}-f'_{m}\|_{\infty}<\epsilon\). En consecuencia \(f_{n}\) y \(f'_{n}\) son sucesiones de Cauchy en \((C[a,b],\|.\|_{\infty})\) que es completo. Entonces existe \(f,g\in C[a,b]\) tal que \(f_{n}\rightarrow f\) y \(f'_{n}\rightarrow g\) (con la norma infinito). Entonces \(f_{n}=\displaystyle\int f'_{n}\rightarrow \displaystyle\int g\). Entonces \(f=\displaystyle\int g\). Por el teorema fundamental del cálculo, \(f\) es derivable y \(f'=g\). Por lo tanto \(f\in C^{1}[a,b]\) y vemos que \(\|f_{n}-f\|_{C^{1}}\rightarrow 0\)