Dice,dado un espacio normado, si \(A,B\) son conexos entonces \(A+B\) es conexo
Supongamos que \(A+B\) es disconexo. Entonces existen \(V,W\) abiertos no vacios disjuntos, tales que \(A+B=V U W\). Sea \(a \in A+B\). Entonces \(a\in V \lor a\in W\). Si \(a \in V\), como \(A\) es conexo; \(A \subseteq V\). Si \(a \in W\), como \(A\) es conexo; \(A \subseteq W\). Analogo para \(b \in B\) (llego a que \(B \subseteq V \lor B\subseteq W\).
Si \((A \subseteq V \land B\subseteq V) \lor (A\subseteq W \land B\subseteq W)\), entonces \(A+B \subseteq V \lor A+B \subseteq W\), entonces \(V=\varnothing \lor W=\varnothing\), lo que es absurdo porq los supuse distintos de vacio.
Faltaria ver el caso de que \(A\subseteq V \land B\subseteq W\) (analogo para el otro caso). Sea \(a+b/a \in A, b\in B\).
Si \(a+b \in V\), entonces \(d(a+b,V)=0\) pero \(d(a+b,a)=\parallel b \parallel > 0\) pues \(b\neq 0\). Luego \(a+b\) no esta en \(V\). Es analogo si supongo que \(a+b\in W\). Luego \(A+B\) no es disconexo
No me convence mucho lo del final, cuando afirmo q la distancia al conjunto es 0 y dsps encuentro una de adentro q me da distancia distinta de cero
Pero me parece que dice que A y B son subconjuntos de E, no dice subespacios... el 0 podria no estar en B, o me equivoco?
Lo que yo hice que no sé si está bien:
Sea f una función \(f:A \rightarrow A+B\)
definida como\(f(a)=\{a\}+B\)
es una función contínua, entonces manda de conexos en conexos, luego como A es conexo, A+B es conexo.
No me convence del todo decir que es contínua, me cuesta un poco probarlo... está bien si digo:
Sea \({({a}_{n})}_{n}\) una sucesión contenida en A que converge a un \(a\), entonces
\(f({a}_{n})=\{{a}_{n}}\}+B\) converge a \(\{a\}+B\) entonces f es contínua?
Considero \(S:E\times E\rightarrow E\) tal que \(S(x,y)=x+y\). Esta función es continua (ejercicio de la práctica de normados) Luego \(S':A\times B\rightarrow E\) también es continua. Luego notar que \(A\times B\) es conexo y que \(S'(A\times B)=A+B\)