Hola nuevamente yo con un problema de Cardinalidad. Esta vez el ejercicio es este: "hallar la cardinalidad de \(D=\lbrace (q_{n}) \subset \mathbb{Q} / (q_{n}) \text{ periodica}\rbrace\)".
Primero no se bien a que se refiere con \((q_{n}) \text{ periodica}\): una sucesión que de movida sea periódica, algo como \((1 1 1 1 1...)\) o \((1 2 1 2 1 2..)\) o una sucesión que a partir de algún término sea periódica, como \((1 2 3 4 5 6...567856785678...)\). De todas formas no sé si eso es un problema en sí. Ahora bien, de entrada creí que \(D\) es numerable, entonces a partir de ahí todo lo que hice fue buscar algún conjunto numerable con quien encontrar una biyección, o al menos una función inyectiva o sobreyectiva. Se me ocurrió pensar en alguna relación entre nuestro conjunto \(D\) y \(E=\lbrace (q_{n}) \subset \mathbb{Q}/ (q_{n}) \text{ tiene finitos terminos}\}\), este último es numerable, ya que está en biyección con la unión numerable de los \(\mathbb{Q}^{n}\) y cada \(\mathbb{Q}^{n}\) es numerable, entonces \(E~\sim\mathbb{N}\). Esta idea viene de pensar en que la sucesión \((1 2 3 4 5 5 5 5 5....)\dashrightarrow(1 2 3 4 5)\), o sea, que en el fondo, las sucesiones periódicas tienen finitos elementos.
Perdí todo el día pensando esto y no logre hallar una función entre \(D\) y\(E\). Alguna sugerencia de como encarar el ejercicio y si lo que pense tiene sentido o no?
Gracias!
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