Ya que estamos hacemos el 4. Chequeen a ver si encuentran algo
Sea C la curva \({x}^{\frac{2}{3}}+{y}^{\frac{2}{3}}=1\) en el plano xy. Sea S la superficie que se obtiene al girar C alrededor del eje x. (a) Hallar una parametrización para S (b) Hallar el área de S
Bueno, la curva C queda como un "diamante" con vèrtices en (1,0) (-1,0) (0,1) y (0,-1) Por su simetría, se obtiene la misma superficie si se la gira alrededor de x o de y
La parametrización de la curva en el plano está dada por \(\sigma(t)=({cos}^{3}t,{sen}^{3}t)\) Así que puedo parametrizar la superficie de revolución por \(T(u,v)=({cos}^{3}usenv,{sen}^{3}usenv,cosv)\) ahí tenemos la primera parte
Para la segunda, yo la pensé de dos maneras:
Manera 1 : Usando que la superficie de revolución de un cuerpo generado por una curva que gira alrededor del eje x está dada por \(S=2\pi \int_{a}^{b}y(t)\|\sigma(t)\|\dt\)donde \(\sigma(t)=(x(t),y(t)),a\leq\ t \leq\ b\) es una parametrización regular de la curva.
Para que me quede todo positivo uso la simetría de la curva y entonces multiplico por dos quedando:
Es decir... bastante feo de integrar
Yo traté algunas sustituciones (varias) y se llega al resultado pero no al mismo 😕
Bueno, de todos modos la manera 1 me parece màs sencilla.
Si alguien ve donde me estoy equivocando me dicen por favor!!
Yo lo hice por la forma "2" y me dio lo mismo. Sí tiene bastante cuenta, pero por igualdades trigonométricas todo salió bien. Igual no me doy cuenta de si tu parametrización está bien o no (bah, no la entiendo).
Yo puse: cos\(^3\)t, sen\(^3\)t · cos u, sen\(^3\)t · sen u