Sea \(D={(x,y)\in{}\mathbb{R}^2/x^2+y^2\leq 1}\) y sea \(f:D\rightarrow{}\mathbb{R}\) definida por \(f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{x^4y^10}\)
Considerar la superficie S dada por el gráfico de f restringida a D, orientada con la normal apuntando hacia arriba. Consideremos el campo \(G:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) dado por \(G(x,y,z)=(-y,x,x^2+y^2)\)
Calcular\(\int G dS\)
Se que divG= 0. Si la superficie fuera cerrada, entonces la integral que me piden me da 0 (por el teorema de Gauss). Pero no me doy cuenta de si esto es así o no. En el caso de que la superficie no fuera cerrada ¿qué es lo que falta para poder cerrarla?
S es el gráfico de la función, entonces a "groso modo", la superficie cerrada que andarías buscando sería la que tiene de piso a D, el techo es S y las paredes es lo que queda en el medio de eso y las une en los bordes (hacete el dibujito para entenderlo mejor). Nota que en las paredes, la normal de dicha superficie es ortogonal al eje z.
Yo analizaría un poco a la función f pero no parece muy fea, asique supongo que con eso anda todo bien.
Acordate que la pared es alrededor de D. Tendrías que recorrer \(\partial D\) con las \((x,y)\) y la \(z\) sería tu altura.
Si no te sale mirá la resolución.
Para parametrizar la "pared" lo que tendrías que hacer es moverte por el borde de \(D\) con las coordenadas \((x,y)\) y la coordenada \(z\) va desde \(0\) hasta lo alto de la función \(f\) en el punto \((x,y)\).
Como \(\partial D = \{ x^2+y^2 = 1 \}\), entonces la parametrización qudaría:
$$T(\theta, z) = (cos \theta, sin \theta, z), 0\leq \theta \leq 2\pi, \,0 \leq z \leq f(cos \theta, sin \theta) = (1-cos^2\theta -sin^2\theta)e^{cos^4\theta sin^{10}\theta} = 0$$
Por lo tanto te queda \(T(\theta, z)=\tilde{T}(\theta)=(cos\theta,sin\theta,0)\) que es la curva del borde de D. Esto integra a cero porque en realidad es una curva (desde una integral de superficie)
Saludos.