Recuperatorio Primer Parcial (17/12/2011)
1. Una compañía eléctrica tiende cables fijándolos a postes distanciados a 10 metros entre sí. De este modo, el cable suspendido adquiere la forma de una curva llamada catenaria, cuya ecuación es \(y=6cosh(x/6)\) tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable (que cae en el centro). Si la compañía cableara 4 cuadras (400 metros), ¿cuánto cable necesitará?. Suponer que en el inicio y en el fin de cada cuadra, hay un poste.
2. Sea \(C\) la curva dada como intersección de superficies del siguiente modo: \(C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=x^2-y^2\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2=1\}\) orientada en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
Sea el campo \(F:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) dado por \(F(x,y,z)=(-y,x,0)+(yze^{xyz},xze^{xyz},xye^{xyz})\).
Calcular \(\int_{C}\ F(x,y,z).ds\).
3. Sea \(\varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) continua y consideremos la superficie \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+z^2=9, 0\leq{y}\leq2\}\), orientada con la normal exterior.
Calcular el flujo del campo \(F(x,y,z)=(x,\varphi(x,y,z),z)\) a través de S.
4. Sea \(F(x,y)=(\frac{x-y}{2},\frac{x+y}{2})\) un campo definido en el plano y sea \(C\) una curva plana simple que une el punto \((2,0)\) con el \((-2,0)\) y está contenida en el semiplano superior. Se sabe además que el área entre la curva \(C\) y el eje \(x\) es \(A\).
Calcule, en función de \(A\), la integral \(\int_{C}\ F.ds\).