Tema

PEDIDO final 21/02/2014

21 respuestas 23197 visitas 2014-02-19

#1 marsden 2014-02-19 23:32

Hola, alguien que tenga pensado rendir el final de Análisis en esa fecha, podría subirlo?
Gracias

#2 Equinoccio 2014-02-23 03:04

Hola. Acá te lo paso. Puede haber algún error porque lo copié rápido. Cualquier duda preguntame

i_ Definir el área de una superficie que viene dada por una parametrización regular.
ii_ Sea S una superficie que viene dada por $z=f(x,y)$ $f:D\rightarrow{}\mathbb{R}^2$ f de clase C1 Probar que el área de S es $\int\int_D \sqrt[2]{1+(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})^2+(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})^2} dxdy$

iii_ Calcular el área de la superficie que viene dada por $z=x^2+y^2$ con D=$\left\{{(x,y)\mathbb{R}^2/x^2+y^2\leq 1 }\right\}$

i_ Enunciar el teorema de Stokes
ii_ Sea C una curva abierta simple orientada con $\sigma:[0,1]\longrightarrow{}\mathbb{R}; \sigma (0)=(0,0,1); \sigma(1)=(0,1,0)$. Sea $F(x,y,z)=(z cos(xz);2y;x cos(xz))$. Calcular $\int F dS$

3)ì_Sea el sistema $X'=AX$ con $A\in{}\mathbb{R}^(2x2)$
$Av= \lambda v$ ; $Aw= \lambda w+v$ con $\left\{{v,w}\right\}$ un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^2$ y $\lambda\in{}\mathbb{R}$. Probar que $\left\{{e^{ \lambda t}v ; e^{ \lambda t}w+t e^{ \lambda t}v }\right\}$ es una base de soluciones del sistema

ii_ Hallar la solución general y esbozar el diagrama de fases de $X'=AX$ con

A=\begin{bmatrix}{1}&{2}\{2}&{1}\end{bmatrix}

Espero que te sirva.
Saludos 😄

NOTA: Edité 3i porque no se notaba bien la exponencial.

Editado 1 vez.

#3 inkosoft 2014-02-23 04:45

Duda existencial: cuando dice enunciar es solo enunciar o tambien probar?

#4 aflukes 2014-02-23 22:14

En el ejercicio uno, cuando dice definir el área de una superficie, qué entienden por ello? Poner directamente la integral? O lo de la explicación de cómo se llega a esa integral?

#5 Equinoccio 2014-02-23 22:28

Hola a todos

Donde dice "enunciar", es solo eso. No se pidió demostración.

Y con respecto a lo del área de la superficie, solo se pidió la definición, sin demostración ni nada. El único detalle es que yo solo había escrito que necesitaba una parametrización regular de S, pero no aclaré qué es una parametrización regular.

Espero que haya respondido sus dudas.

Saludos 😛

#6 inkosoft 2014-02-24 01:20

Gracias! Bastante raro el final. Para lo de la parametrizacion regular tambien tenes que explicar que es cada propiedad que la hace regular?

#7 Equinoccio 2014-02-24 03:42

inkosoft escribió:

Gracias! Bastante raro el final. Para lo de la parametrizacion regular también tenes que explicar que es cada propiedad que la hace regular?

No se si te entendí bien, pero creo que lo que quería era que dijeras que la parametrización elegida tiene que cumplir que es inyectiva, de clase C1, y que el producto vectorial no se anula nunca.

#8 inkosoft 2014-02-24 17:53

Si era eso 😄 . Como te fue?

#9 Equinoccio 2014-02-24 20:34

inkosoft escribió:

Si era eso 😄 . Como te fue?

Me alegro. Yo aprobé, me marcaron detalles nada más (como el que conté arriba). Dieron 3 horas para hacerlo.

Saludos

#10 inkosoft 2014-02-25 19:08

Para probar la independencia lineal usas el wronskiano? O como haces? Porque el wronskiano da 0 salvo en t=0

#11 Equinoccio 2014-02-25 20:26

inkosoft escribió:

Para probar la independencia lineal usas el wronskiano? O como haces? Porque el wronskiano da 0 salvo en t=0

En el final lo hice de otra manera. Acá te dejo mi resolución:

Lo que hice fue usar que si las funciones son linealmente independientes para todo t, también lo son para un valor $\alpha$ particular. Tomando $\alpha=0$ y evaluando te queda el conjunto $\left\{{v;w}\right\}$ que el LI por hipótesis

Recién traté con el wronskiano, y me queda que el determinante da

{e^{\lambda 2t}\begin{bmatrix}{v}&{w}\end{bmatrix}}

que es distinto de 0 para todo t, pues $e^{\lambda 2t}$ no se anula, y

\begin{bmatrix}{v}&{w}\end{bmatrix}}

tampoco, pues v y w son vectores linealmente independientes.

Cualquier cosa volveme a preguntar. Fijate que edité ese ejercicio porque la base estaba bastante mal escrita, quizás por eso no te daba antes. 😉

#12 inkosoft 2014-02-25 22:58

A mi me quedo el wronskiano que solo se anula en t=-1.

Editado 1 vez.

#13 Equinoccio 2014-02-26 00:33

A ver si hicimos lo mismo.

Llamo:

v=\begin{bmatrix}{v_1}\{v_2}\end{bmatrix}

w=\begin{bmatrix}{w_1}\\{w_2}\end{bmatrix}

x_1=e^{ \lambda t}v

x_2= e^{ \lambda t}w+t e^{ \lambda t}v

Entonces

W(x_1;x_2)=\det{\begin{bmatrix}{e^{ \lambda t}v_1}&{e^{ \lambda t}w_1+t e^{ \lambda t}v_1}\{e^{ \lambda t}v_2}&{e^{ \lambda t}w_2+t e^{ \lambda t}v_2}\end{bmatrix}}

=$e^{ \lambda 2t}v_1 (w_2+t v_2)-e^{ \lambda 2t}(w_1+t v_1)v_2$=$e^{ \lambda 2t}(v_1 w_2-w_1 v_2)$=

e^{ \lambda 2t}\det{\begin{bmatrix}{v_1}&{w_1}\{v_2}&{w_2}\end{bmatrix}}

e^{ \lambda 2t}\det{\begin{bmatrix}{v}&{w}\end{bmatrix}}

. Fijate que esto nunca se anula, por las justificaciones que te di antes .

Si sigue sin salir, publicá lo que hiciste a ver si podemos ver qué pasa.

Saludos

#14 inkosoft 2014-02-26 01:07

Yo pense que se hacia asi:

W(x_1;x_2)=\det{\begin{bmatrix}{e^{ \lambda t}v}&{e^{ \lambda t}w+t e^{ \lambda t}v}\\{e^{ \lambda t}\lambda v}&{e^{ \lambda t}\lambda w+t e^{ \lambda t}\lambda v}\end{bmatrix}}

Y de ahi llegas a que con t=-1 se anula sino nunca. Pero aparentemente esta mal hecho el W. O t negativo

#15 Equinoccio 2014-02-26 01:30

inkosoft escribió:

Yo pense que se hacia asi:
$W(x_1;x_2)=\det{\begin{bmatrix}{e^{ \lambda t}v}&{e^{ \lambda t}w+t e^{ \lambda t}v}\\{e^{ \lambda t}\lambda v}&{e^{ \lambda t}\lambda w+t e^{ \lambda t}\lambda v}\end{bmatrix}}$ Y de ahi llegas a que con t=-1 se anula sino nunca. Pero aparentemente esta mal hecho el W. O t negativo

Ya entendí. Lo que te pasó es que en cada elemento de tu matriz no estás poniendo "funciones" (por llamarlas de alguna manera), sino que estás metiendo vectores de 2x1.

Lo que vos estabas pensando se usa cuando v y w son escalares, como si estuvieras buscando las soluciones a una ecuación lineal de orden 2. Me parece que te mezclaste la solución de sistemas con la sol de ecuaciones lineales de orden n

Espero haber aclarado tus dudas 😛

Obs. Fijate que pusiste en $a_{22}$ no es la derivada de la de arriba

#16 inkosoft 2014-02-26 01:42

Cierto. Que boludo jaja. Gracias.

#17 diego_mrh 2014-02-27 19:51

Ya que estamos con el ejercicio 3. La consigna pide mostrar que es una base de soluciones del sistema. Con lo del Wronskiano diferente de 0 se muestra que el conjunto es LI. Ahora, la pregunta del millon (y hasta una boludes en el fondo): a mi me dan un generador {X1,X2}.Entonces, ¿me alcanza con derivar X1 y X2 y despues hacer AX2, AX1 y mostrar que lo que me da es igual a la derivada (porque, justamente, lo que hace A es derivar) ?

#18 inkosoft 2014-02-27 20:22

Con probar que son LI tenes que es de dimension 2. Ahora tenes que probar que ambos son solucion. Reemplazas y fijate que sale. Ahora lo hago y veo si asi llego a algo.

#19 Equinoccio 2014-02-27 22:00

diego_mrh escribió:

Ya que estamos con el ejercicio 3. La consigna pide mostrar que es una base de soluciones del sistema. Con lo del Wronskiano diferente de 0 se muestra que el conjunto es LI. Ahora, la pregunta del millon (y hasta una boludes en el fondo): a mi me dan un generador {X1,X2}.Entonces, ¿me alcanza con derivar X1 y X2 y despues hacer AX2, AX1 y mostrar que lo que me da es igual a la derivada (porque, justamente, lo que hace A es derivar) ?

Hola. Si eso es lo que tenes que hacer para probar que x1 y x2 son soluciones. Acá te dejo lo que hice para probar que x1 es sol, por si lo necesitas.

$(e^{ \lambda t}v)^{\prime}= \lambda e^{ \lambda t}v$

$A(e^{ \lambda t}v)= e^{ \lambda t} Av = e^{ \lambda t} \lambda v$

#20 quino 2014-02-28 17:08

Equinoccio escribió:

inkosoft escribió:

Yo pense que se hacia asi:
$W(x_1;x_2)=\det{\begin{bmatrix}{e^{ \lambda t}v}&{e^{ \lambda t}w+t e^{ \lambda t}v}\\{e^{ \lambda t}\lambda v}&{e^{ \lambda t}\lambda w+t e^{ \lambda t}\lambda v}\end{bmatrix}}$ Y de ahi llegas a que con t=-1 se anula sino nunca. Pero aparentemente esta mal hecho el W. O t negativo

Ya entendí. Lo que te pasó es que en cada elemento de tu matriz no estás poniendo "funciones" (por llamarlas de alguna manera), sino que estás metiendo vectores de 2x1.

Lo que vos estabas pensando se usa cuando v y w son escalares, como si estuvieras buscando las soluciones a una ecuación lineal de orden 2. Me parece que te mezclaste la solución de sistemas con la sol de ecuaciones lineales de orden n

Espero haber aclarado tus dudas 😛

Obs. Fijate que pusiste en $a_{22}$ no es la derivada de la de arriba

Perdon que los molesto, pero cuando Equinoccio, definis el wroskiano, pones a los vectores x1 y x2 como columnas de la matriz, sin embargo por lo que tengo entendido el wroskiano tiene en columnas a cada una de sus soluciones derivadas n-1 veces. En este caso el sistema es de primer orden por lo que me resulta razonable que no utilizes las derivadas, pero de todas formas estoy confundido.

#21 Equinoccio 2014-02-28 18:48

Perdon que los molesto, pero cuando Equinoccio, definis el wroskiano, pones a los vectores x1 y x2 como columnas de la matriz, sin embargo por lo que tengo entendido el wroskiano tiene en columnas a cada una de sus soluciones derivadas n-1 veces. En este caso el sistema es de primer orden por lo que me resulta razonable que no utilizes las derivadas, pero de todas formas estoy confundido.

Hola. quizás hice mal en llamarlo Wronskiano (al wronskiano de lo define como la matriz que explicaste acá arriba)

Te explico lo que hice de otra forma. Si vos queres ver que dos vectores son LI, le calculas el determinanate y te fijas si se anula o no. En este caso yo hice eso, escribí a las soluciones en columnas, y les calculé el determinanate. Como no se anula nunca, puedo decir que las soluciones son LI.

Espero no haberte confundido más. 😉
Saludos

#22 quino 2014-02-28 19:49

Perfecto!!!! Muchas gracias!!