Salió un poco borrosa, pero espero que se entienda, cualquier cosa me preguntan.
Si alguien se presta a resolver el item 1.b.ii se agradece.
Lo mismo si saben donde hay una demostración formal del 3.a.
Tema
Final 20/12/2013
Gracias!!!
La demo no es la de la página 28 del apunte de Wolanski?
el 1bii sale planteando una curva arbitraria con una circunferencia adentro. En la región delimitada por ambas curvas vale Green (porque el circunferencia saca al origen como un sacabocados y por lo tanto sabés que la suma de la integral sobre ambas curvas (una de ellas en sentido negativo) es nula. Como sabés, por el 1bi que la integral sobre la circunferencia vale -2Pi, entonces la integral sobre la curva arbitraria vale también -2pi
QED 😄
Sí, recién me fije y es el de la página 28. Es una version alternativa a la de los vectores son li si y solo son li evaluados en un punto cualquiera.
Y el de la curva era fácil y no me cuenta. Estaba pensando en otra cosa.
De todas formas aprobé 😄
A ver si hice bien el 3a
Supongo que \(W(t)\neq 0 \; \forall t\)
Si tengo
$$c_1x_1 + c_2x_2 =0$$
$$c_1x'_1 + c_2x'_2 =0$$
El sistema tiene sólo solución no trivial sii
$$W=\begin{vmatrix} x_1& x_2\\ x'_1& x'_2 \end{vmatrix} = 0$$
Lo cual es falso por hipótesis, por lo que la única solución del sistema es que \(c_1=c_2=0\) y por lo tanto \(\{x_1; x_2\}\) son l.i. \(\square\)
Ahora supongo que \(\{x_1;x_2\}\) es l.i. Esto significa que si tengo
$$c_1x_1 + c_2x_2 =0$$
$$c_1x'_1 + c_2x'_2 =0$$
La única solución es la trivial \(c_1=c_2=0\)
Lo que significa que
$$W=\begin{vmatrix} x_1& x_2\\ x'_1& x'_2 \end{vmatrix}\neq 0\;\square$$
En realidad me parece que la doble demostración es innecesaria por el "sii" de la primera demostración, pero bueno.
hola! alguno me dice cómo resolvió el problema 2?
Nunu86 escribió:
hola! alguno me dice cómo resolvió el problema 2?
Fijate que en el subconjunto Omega vale el Teorema de Gauss. Toma en el punto a) como campo vectorial uF.v y calcula la divergencia, fijate que coincide con lo que esta en la integral de volumen. (Fijate como derivas el campo para calcular la divergencia!) En el punto b) tomas como campo vectorial a lo que esta en la integral de superficie y calculale la divergencia, fijate que va a coincidir con lo que esta en la integral de volumen. Tene en cuenta que los dos campos vectoriales que consideraste son C1, en el punto a) es trivial y en el punto b) aclaran que los campos u y v son C2 luego el gradiente esta compuesto de funciones C1. Y esto es importante porque es uno de las hipotesis de Gauss. Espero que hayas entendido!
quino escribió:
Nunu86 escribió:
hola! alguno me dice cómo resolvió el problema 2?
Fijate que en el subconjunto Omega vale el Teorema de Gauss. Toma en el punto a) como campo vectorial uF.v y calcula la divergencia, fijate que coincide con lo que esta en la integral de volumen. (Fijate como derivas el campo para calcular la divergencia!) En el punto b) tomas como campo vectorial a lo que esta en la integral de superficie y calculale la divergencia, fijate que va a coincidir con lo que esta en la integral de volumen. Tene en cuenta que los dos campos vectoriales que consideraste son C1, en el punto a) es trivial y en el punto b) aclaran que los campos u y v son C2 luego el gradiente esta compuesto de funciones C1. Y esto es importante porque es uno de las hipotesis de Gauss. Espero que hayas entendido!
Gracias!! me sirvio mucho. Lo único que me genero dudas fue que, en el punto a), el nuevo campo vectorial es uF, no? porque si tomo uF.v (con v= normal) no me sale