Acá les dejo el enunciado de lo que me tomaron ayer. Los que tomaban eran Farinati, Caranto y Armentano.
(1) Calcular \(\int_C ( \cos (\pi x ) + x^2 +3y) \, dx + (f(y) + 5x) \, dy\), donde \(C\) es la curva \(y = -x^2+1\) orientada de izquierda a derecha, con \(-1 \le x \le 1\) y \(f: \mathbf{R} \mapsto \mathbf{R}\) es una función de clase \(C^1\).
(2)
(a) Enunciar y demostrar el teorema de Gauss o de la divergencia para una región elemental en \(\mathbf{ R }^3\).
(b) Sean \(D = \{ \, (x,y): x^2+y^2 \le 1 \, \}\) y \(f : D \mapsto \mathbf{R}\) de clase \(C^2\) con \(f \geq 0\).
Sea \(S = \{ \, (x,y,z): z = f ( x , y ) \, , \, (x,y) \in D \, \}\) la superficie gráfico de f. Sabiendo que \(f \equiv 0\) en el borde de \(D\), hallar \(\iint_S \vec{G} \cdot \check{n} \, dS\) , con \(\vec{G}\) (no me lo acuerdo, pero era un campo \(C^\infty\) en \(\mathbf {R}^3\) tal que \(\vec{ \nabla } \cdot \vec{G} = 0\)).
(3)
(a) Sea la EDO homogénea de segundo orden \(y''(t) + a_0 (t) y' (t) + a_1(t) y (t) = 0\), con \(a_0,a_1 : (a,b) \mapsto \mathbf{R}\) continuas en \((a,b)\) .
Demostrar que el espacio de soluciones reales de la ecuación es un espacio vectorial de dimensión 2.
(b) Hallar explícitamente una base de soluciones de \(y''(t) - 6 y' (t) + 9 y (t) = 0\).
Si hay alguna duda sobre algún problema en particular, pregunten nomás.
Hola!!
Te hago una consultita: Los finales de Armentano y compañía suelen ser de este estilo? Parece ser muy parecido a cómo toma Lederman.
Y sabés si entran los teoremas de unicidad y existencia de solución en ecuaciones diferenciales?
Tengo problemas haciendo el 3a), hay que aplicar laguna propiedad en especial o solo haciendo la resolución "general" de ese tipo de EDO?
Saludos
Es la demostracion de que las ecuaciones lineales de orden n forman un subespacio de dimension n. En este caso pones n=2 y lo demostras. Para demostrar la parte de subespacio es facil: tenes que probar que el 0 es solucion, que la suma de dos soluciones es solucion y que la multiplicacion de una solucion por un escalar es solucion.
Para la parte de la dimension probas que hay al menos 2 soluciones linealmente indpendientes que son solucion y luego que toda solucion se tiene que escribir como combinacion lineal de esas dos.
La demostracion esta hecha en el apunte de Noemi Wolanski para sistemas lineales, pero como se puede pasar de sistemas lineales a ecuaciones lineales es lo mismo. http://mate.dm.uba.ar/~wolanski/ode.pdf
(3)
(a) Sea la EDO homogénea de segundo orden \(y''(t) + a_0 (t) y' (t) + a_1(t) y (t) = 0\), con \(a_0,a_1 : (a,b) \mapsto \mathbf{R}\) continuas en \((a,b)\) .
Demostrar que el espacio de soluciones reales de la ecuación es un espacio vectorial de dimensión 2.
Que es un subespacio:
Tengo que probar que:
\(0\) es solución
Si \(p,q\) son soluciones entonces \(p+q\) es solución
Si \(p\) es solución y \(k \in \mathbb{R}\) entonces \(kp\) es solución
Claramente, \(0\).
Si \(p, q\) son soluciones, entonces:
$$(p+q)'=p'+q'$$
$$(p+q)''=p''+q''$$
\((p+q)''(t)+{a}_{0}(t)(p+q)'(t)+{a}_{1}(t)(p+q)(t)=(p''(t)+q''(t))+{a}_{0}(p'(t)+q'(t))+{a}_{1}(p(t)+q(t))=(p''+{a}_{0}p'+{a}_{1}p)+(p''+{a}_{0}p'+{a}_{1}p)=0+0=0\) entonces \(p+q\) es solución.
Lo mismo hago con \(kp\)
Para la parte de dimensión 2: tengo que encontrar una base de soluciones que conste de dos soluciones. Para ello voy a proponer dos soluciones que sean linealmente independientes y luego probar que toda solución se escribe como combinación lineal de estas dos.
Propongo las siguientes dos soluciones:
\(p(t)\) con condición inicial \(p(0)=1,p'(0)=0\)
\(q(t)\) con condición inicial \(q(0)=0,q'(0)=1\)
(Recuerdo que por el teorema de existencia y unicidad estas dos soluciones existen y son únicas)
Veamos que son soluciones linealmente independientes.
Quiero ver que: Sean \({\alpha}_{1}, {\alpha}_{2} \in \mathbb{R}\) tales que \({\alpha}_{1}p+{\alpha}_{2}q=0 \Rightarrow {\alpha}_{1}={\alpha}_{2}=0\)
Evalúo en 0: \(0={\alpha}_{1}p(0)+{\alpha}_{2}q(0)={\alpha}_{1}1+{\alpha}_{2}0={\alpha}_{1}\)
Si derivo y evalúo en 0: \(0={\alpha}_{1}p'(0)+{\alpha}_{2}q'(0)={\alpha}_{1}0+{\alpha}_{2}1={\alpha}_{2}\)
Que es lo que queríamos probar.
Ahora veamos que toda solución se escribe como combinación lineal de estas dos.
Sea \(y(t)\) una solución cualquiera cuya condición inicial es \(y(0)=a,y'(0)=b\).
Tomo la función \(x(t)=y(0)p(t)+y'(0)q(t)=ap(t)+bq(t)\)
Esta función es solución la ecuación pues es combinación lineal de dos soluciones.
\(x\) e \(y\) son ambas soluciones de la ecuación con la misma condición inicial. Entonces por el teorema de existencia y unicidad, \(x=y\), por lo tanto, \(y\) es combinación lineal de \(p\) y \(q\). Entonces \(y \in <p,q>\). En consecuencia, como \(y\) era cualquiera, toda solución se escribe como combinación lineal de estas dos.
Entonces el subespacio generado por \({p,q}\) contiene todas las soluciones, y como son linealmente independiente (y vale la otra inclusión), son base de soluciones. Entonces el subespacio de soluciones tiene dimensión 2.