Che les dejo un final que me estuvo causando bastantes problemas y que tiene unas consignas medio molestas a mi parecer.
Tengo problemas con el 1a, el 2 y el 4b
Les cuento lo que hice:
El 1a no tengo idea. Tiene que ser una boludez de derivar algo y reemplazar algo, pero no me salio jajaja.
El 1b usando el resultado del primero sale por Teorema de la divergencia verificando que la divergencia de F es eso que dice ahi.
El 2 tampoco tengo mucha idea como empezarlo.
El 3 es facil, es la demostracion de campos conservativos.
El 4a es derivar y ver que verifica eso.
Y el 4b es raro. Hice la sustitucion que te propone, y para resolverlo tengo que pedir r distinto de 0. Si pido eso queda
\(\ddot{\psi}=-\psi\) y la solucion volviendo a la veriable original \(\varphi(r) = A/r Cos(r+b)\) con A y b constantes. Pero no esta definida en r = 0 que es donde te pide la solucion.
Si alguien tiene una idea para tirar, sera muy agradecida. Muchas gracias!
1.a)
Para el 1. a), derivás respecto de \(t\). Fijate que \(g(tx,ty,tz)=g\circ h(t)\) con \(h(t)=(tx,ty,tz)\). La regla de la cadena te da \(Dg(h(t))\cdot Dh(t)\). Como
Como la anterior igualdad debe ser válida para todo \(t>0\), poniendo \(t=1\) tenés el enunciado.
Con respecto al 4, una de las soluciones que te sale es \(\varphi(r)=\dfrac{\sin(r)}{r}\) que, si bien a priori no está definida en el \(0\), fijate que si la definís como \(1\) en el origen, resulta una función \(\mathcal{C}^2\).
El 2 te lo debo, creo que está ya en el foro.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Che, que onda el ejercicio 2? Alguien tiene una idea? Me queme la cabeza un par de horas y no llegue a nada concreto. Flashee con que \(x(t)\) podria ser periodica pero no se que onda...
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
En el 2), es fácil ver que la solución es periódica usando el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales. Solo tenés que ver que \(y(t)=x(t+1)\) también es solución.
Me parece que \(\nabla^2 u \neq (\nabla u)^2\). Fijate si en los apuntes de la cursada tenés algún comentario al respecto de esa notación. Quizás en ese final lo aclararon.
Yo supongo que significa: \(\nabla^2 u = \nabla . (\nabla u)\). Con eso me dieron las cuentas.
