Hola!! Mañana rindo final con Lederman y quería saber si alguno tiene el final que tomó el martes pasado o alguno de los que tomó durante el año porque también estuvo ella!
Muchas Gracias!
Tema
Pedido de Final 13/12/11
Podrías subir el final que te tomaron hoy?.. Porque rindo el 27/12 y quisiera saber cómo están tomando..
Gracias!!
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Ro!
\(1)\) Sean \(P,Q: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\), \(C^1 (\mathbb{R}^2)\), tales que \({P}_{y}={Q}_{x}\). Sean \({C}_{1}\) y \({C}_{2}\) dos curvas con los mismos extremos \(a\) y \(b\), recorridas con la misma orientación. Probar que \(Pdx + Qdy\) sobre \({C}_{1}\) es igual \(Pdx + Qdy\) sobre \({C}_{2}\)
\(2)\) Calcular el flujo de \(F\) a través del borde del cubo \([-1,1] \times [-1,1] \times [-1,1]\)
$$F=(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{_{3/2}}}+y,\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{_{3/2}}}+x,\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{_{3/2}}} )$$
\(3)\) Sea \(f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) continua, ¿es verdadero que:
$$x' = f(x)$$
$$x(0) = 0$$
admite más de una solución? En caso de que no, probarlo. En caso que sí, dar un ejemplo
\(4)\) Esbozar el diagrama de fases en todos los puntos de equilibrio del siguiente sistema:
$$x' = x \cdot ln(y)$$
$$y' = x^2-y^2+4$$
Editado 1 vez.
alguien tira como se hace el del campo F??
Fijate que si llamas \(\vec{r}=(x,y,z) \Rightarrow F = \frac{\vec{r}}{r^3} +(y,x,0)\). Si no me equivoco tendrias uqe poder dividir la integral, y en la primera usas el teorema de gauss (osea que da 4pi porque el cero esta en el inervalo) y la otra la calculas.
en el 2) a mi la div(F) me da 0 por lo tanto con aplicar gauss bastaría.
Aunque no se como responder el 3) alguien tiene idea??
Me parece que el campo ese no cumple con las hipotesis de gauss
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Quimey
el ejercicio 1, es de campos conservativos no??
en el ej. 2 no se si se puede aplicar gauss porque F no es \({C}^{1}\) en todo \(\mathbb{R}^{3}\)
hola! alguien sabe como demostrar el ejercicio 3), para mi esa ecuación no admite mas de una solución porque para cada cond. inicial obtengo una sola sol, o no?
Me parece que hay casos en los que admite más de una solución. No tengo a mano los ejemplos.
floren.n escribió:
hola! alguien sabe como demostrar el ejercicio 3), para mi esa ecuación no admite mas de una solución porque para cada cond. inicial obtengo una sola sol, o no?
Ese resultado es el que da el teorema de Picard-Lindelöf (el de existencia y unicidad de soluciones), que dice que \(y'=f(t,y)\) admite solución única a cada valor inicial siempre que \(f\) sea Lipschitz en \(y\) y continua en \(t\). El problema no dice nada sobre \(f\), así que no necesariamente hay unicidad de soluciones.
Un contraejemplo sería \(y'=\sqrt{y}\) con \(y(0)=0\) (fijate que no es Lipschitz porque cerca del 0 tenés derivada arbitrariamente grande). Esto admite como solución a \(y_1=\frac{t^2}4\) y a \(y_2\) definida como:
$$y_2(t) = \begin{cases} \frac{(t-a)^2}4 & \text{si } t>a\\0 & \text{si } t\leq a \end{cases}$$
para cualquier \(a>0\). Este ejemplo está en el libro de Noemí Wolanski.
muchas gracias!!!
Hola! Alguien me puede dar una mano con el ejercicio 1? Muchas gracias¡!!
Romance escribió:
Hola! Alguien me puede dar una mano con el ejercicio 1? Muchas gracias¡!!
Si Py = Qx entonces tenés un campo gradiente (por la igualdad de las derivadas cruzadas) pero no se me ocurre rápidamente cómo demostrarlo.
Más fácil es hacerlo directo. Tomás \(C^+ = C^+_1 \cup C^-_2\) (C es una curva cerrada que va por \(C_1\) en sentido positivo y luego vuelve por \(C_2\) en sentido negativo) y entonces tenés
$$\int_{C^+_1}Pdx+Qdy+\int_{C^-_2}Pdx+Qdy=\oint_{C}Pdx+Qdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy = 0$$
Con D = interior de C y la igualdad vale por Green Y de ahí sale que
$$\int_{C^+_1}Pdx+Qdy=-\int{C^-_2}Pdx+Qdy=\int_{C^+_2}Pdx+Qdy \; \square$$
Hola.
Una consulta: Me puse a hacer el ejercicio 4 y encontré que uno de los puntos de equilibrio es el \((1;\sqrt[2]{3}i)\). Este punto no está en \(\mathbb{R}^2\).
Al trabajar con la matriz diferencial en este punto no hay problema, pero no se como hacer para dibujar el diagrama del sistema original (ya que el punto de equilibrio es algo que no está en \(\mathbb{R}^2\) )
¿Se puede hacer de alguna forma, o directamente este punto se descarta porque busco puntos de equilibrio en \(\mathbb{R}^2\)?
Saludos 🙂
Yo creo (en el ejercicio 4) que los puntos que no están en r2 no los deberías tener en cuenta, directamente no los podes encontrar, porque f va de r2 a r2 por hipótesis, si alguien me podría aclarar si tengo razón, sería de gran ayuda.
Muchas gracias