Final del 03/08/10

Acá dejo el final que tomaron hoy, algunas cosas no son textuales.

1. Sea \(F(x,y,z)=(x+1, x^3-ln(z^2+1), 2z+cos(y^2))\). Calcular el flujo a través de la superficie \(S=\lbrace(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x^2+y^2+z^2=4, x\geq0\rbrace\) orientada de tal forma que la normal en el punto \(P=(2,0,0)\) es \(\eta=(1,0,0)\).
2. Enunciar y demostrar el teorema de Stokes para caso del gráfico de una función \(C^2\)
   3)Sea \(A(t)\in\mathbb{R}^{2\times2}, b(t)\in\mathbb{R}^{2}\) funciones continuas.
   a) Probar que todas las soluciones del sistema \(X'(t)=A(t)X(t)+b(t)\) son de la forma
   
   $$X(t)= {X}{h}(t)+{X}{p}(t)$$
   
   con \({X}_{h}\) solución del sistema homogéneo asociado y \({X}_{p}\) solución particular.
   b)Probar que siempre existe una solución particular de la forma \({X}_{p}(t)={c}_{1}(t){X}_{1}(t)+{c}_{2}(t){X}_{2}(t)\) con \({X}_{1},{X}_{2}\) soluciones del sistema homogéneo linealmente independientes y \({c}_{1}, {c}_{2}\) funciones continuas ( o \(C^1\), no me acuerdo).

Podes dar una pista de como se resuelve el primero, porque yo trato de pensar F como el rotor de alguna función pero me queda horrible.

tenes que cerrar la superficie y usar el teorema de gauss porque la div(F)=3. si te fijas es media esfera sin la tapa de abajo. yo te aconsejo que la cierres con la tapa de abajo (es un circulo de radio 2 contenido en el plano yz)

sisi yo en el primero use el teo de gauss, cerras con el disco en

x=0

.ahora, tengo una duda con la orientacion de este disco. yo elegi la horaria y por eso le puse un signo menos adelante, esta bien? gracias!