$$1) Sea\; \Omega \; una\;region\;de\;"tipo\;4"\;(o\;sea\;que\;vale\;el\;teorema\;de\;la\;divergencia)\;y\;tal\;que\;(0,0,0)\not\in\;\partial\Omega.\;Demostrar\;que,\;si\;(0,0,0)\in\Omega,\;r(x,y,z)=(x,y,z)\;y\;n\;es\;la\;normal\;exterior,\;entonces,\;$$
$$\displaystyle\int_{\partial\Omega}\frac{r\;.\;n}{||r||^3}\;dS\;=\;4\pi$$
$$2)\;a)\;Demostrar\;que\;si\;F:{R^3} \rightarrow{R^3}\;es\;un\;campo\;{C^1}\;en\;todo\;{R^3}\;tal\;que\;rotF=0\;en\;todo\;{R^3},\;entonces\;existe\;una\;funcion\;\phi:{R^3}\rightarrow{R},\;que\;es\;{C^2}\;y\;tal\;que:$$
$$F = \nabla\phi$$
$$b)\;Dado\;F=(-{y \over x^2+y^2};{x \over x^2+y^2};0),\;verificar\;que\;rotF=0\;en\;el\;subconjunto\;\Omega\subseteq{R^3}\;definido\;como$$
$$\Omega=\{(x,y,z)\in{R^3}:(x,y)\ne(0,0)\}$$
$$Es\;cierto\;que\;F=\nabla\phi\;en\;\Omega\;para\;alguna\;funcion\;\phi\in{C^2}(\Omega)$$
$$3)\;Considerar\;\;las\;funciones\;X_1:{R}\longrightarrow{R^2},\;X_2:{R}\longrightarrow{R^2}\;dadas\;por$$
$$X_1(t)=(t^2,1-sen\;t)\;,\;X_2(t)=(t,2+t^2)$$
$$a)\;Son\;linealmente\;independientes\;como\;funciones$$
$$b)\;Son\;los\;vectores\;X_1(\tau)\in{R^2},\;X_2(\tau)\in{R^2}\;linealmente\;independientes\;para\;cualquier\;\tau\in{R}$$
$$4)\;Para\;cada\;\alpha\in{R}\;sea\;el\;sistema\;de\;ecuaciones$$
$$\displaystyle{x_1 \choose x_2}'\;=\;\begin{pmatrix} -3 & \alpha \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\displaystyle{x_1 \choose x_2}$$
$$Hallar\;todos\;los\;valores\;de\;\alpha\;tales\;que\;toda\;solucion\;X(t)\;=\;\displaystyle{x_1(t) \choose x_2(t)}\;del\;sistema\;cumpla$$
$$\displaystyle\lim_{t \to{+\infty}}{X(t)}=0$$
No es tan facil como el de la fecha anterior...ja