UBACS UBA - CienciaS · Foro de Alumnos

Tema

Otra preguntonta

6 respuestas 8687 visitas
#1 Erizo

No me peguen por lo que voy a preguntar...

El ejercicio 1 de la práctica 4 dice:

$$$Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior $z= \sqrt{1-x^2 -y^2}, z \geq 0,$ y el campo vectorial $ F(x,y,z) = (x,y,z)$$
$$$Mi pregunta es:$$
$$$Stokes dice:$$
$$\iint_{S} rot(F) \cdot dS = \int_{\partial S }F\cdot d\partial S$$
$$$Luego, $rot(F) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{x} & \frac{\partial}{y} & \frac{\partial}{z}\\ x & y & z \end{vmatrix}= 0$$
$$$Luego $\iint_{S} rot(F) \cdot dS = 0$$
$$$Ahora. Cuando tengo que probar que $\int_\partial{S} F\cdot d\partial S = 0,$ no entiendo como paramterizar eso.$$
$$$No quedar\'ian 2 variables. Digo, eso es una semiesfera, como hago para parametrizarla con un solo par\'ametro?$$
Firma

20080920.jpg
953093.JPG

#2 ALE

OJO!!

El borde de S no es la semiesfera! es la circunferencia en el plano xy

Acordate que Stokes te transforma la integral del rotor sobre una sup, en una integral de LINEA

Luego la parametriz es facilonga....

Saludos!

#3 Erizo

A ver si entendí. Tengo la semiesfera. Stokes me dice que integrar sobre la semiesfera es lo mismo que hacer una integral de línea sobre la curva más grande?... Lease, en este caso, \(r^2 = 1\)?
Estoy un tanto perdido con estas cosas... No me acuerdo de nada :s
Lo otro que me pregunto es que pasa si tengo una esfera completa... Eso no tiene frontera?. Perdón si pregunto una burrada.
Un saludo y gracias desde ya

#4 Sofía

Si tenés una superficie sin borde, en ejemplo que diste, partís la esfera en dos semiesferas, calculás la integrl para cada parte y después las sumás.

Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
#5 Quimey

si no tiene borde da 0 (con alguna condicion de regularidad que no me acuerdo)

Firma

Quimey

#6 Erizo

Una pregunta porque creo que no entendí...
Cuando parametrizo el borde de S, debería poner la coordenada z = 0 y ya?
O sea, en general voy a poder usar una coordenada para parametrizar el borde de una superficie, esa es la idea?
Porque se me ocurre que como es una aplicación de\(R^2 \to R^3\), el dominio es una curva, no debería parametrizar el "borde del dominio" y pasarla por la parametrización?, eso funciona?

#7 ALE

No pará... me parece que mezclaste todo.

En este ejercicio vos tenès que calcular una integral de linea. Cuando aplicastes Stokes te la pasò a una de superficie que te dio 0. Ahora vos intentàs calcular una integral de linea donde la curva es "el borde de la semiesfera". Ahora bien, ese borde es la circunferencia en el plano xy. Como es un a curva, su parametrización va a tener UN PARÀMETRO. Es decir va a ser una \(\sigma :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R^3}\) NO IMPORTA si z=0 o no, siempre la parametrizaciòn de una curva depende SOLO de un parametro, entendeS? por màs que esa curva sea alabeada ( o sea no se pueda contener en un plano )

Ahora, ... en este caso la parametrizaciòn de la CURVA es facil porque encima tenès que z=0. Dicha parametrizaciòn es T(V)=(cosv,senv,0)
con v variando entre 0 y dos pi.

¿Entendiste ahora? Si no preguntà de nuevo. Nos vemos!