Problema 1
Sea \(f\) meromorfa con finitos polos \(a_1,...,a_m \notin \mathbb{Z}\) y tal que \(\lim_{|z| \to +\infty} |zf(z)| = 0\).
(a) Para \(N \in \mathbb{N}\), notamos \(C_N\) el cuadrado de vértices \((N+\frac{1}{2})(1+i), (N+\frac{1}{2})(-1+i), (N+\frac{1}{2})(-1-i), (N+\frac{1}{2})(1-i)\). Probar que \(|\cot(\pi z)| \leq C\) para \(z \in C_N\) con \(C\) independiente de \(N\).
(b) Probar que \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) = - \pi \sum_{k=1}^m Res(f(z)\cot(\pi z);a_k)\).
(c) Aplicación: dado \(a \in (0,+\infty)\), probar que \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{a^2+n^2} = \frac{\pi}{a} \coth(\pi a)\)
Problema 2
Consideramos \(f_n,f \in H(U)\), con \(U\) abierto y conexo, tal que la sucesión \((f_n)_n\) es acotada en \(H(U)\) y el conjunto \(A:=\{z \in U : \lim_{n \to +\infty} f_n(z) = f(z) \}\) tiene un punto de acumulación en \(U\). Probar que \(f_n \to f\) en \(H(U)\).
Problema 3
Fijamos puntos \(z_0 = 0\), \(z_1, z_2, ... \in \mathbb{C} \backslash \{0\}\), tales que \(|z_j| \nearrow +\infty\) y números \(a_0, a_1, a_2, ... \in \mathbb{C} \backslash \{0\}\). Dado \(m \in \mathbb{N}\) consideramos la función \(L_m(w) := \frac{1}{w-1} + 1 + w + w^2 + ... + w^{m-1}\), \(w \in \mathbb{C}\).
(a) Probar que \(|L_m(w)| \leq 2|w|^m\) si \(|w|<\frac{1}{2}\).
(b) Probar que si \(m\) es tal que \(\sum_{j \geq 1} \frac{|a_j|}{|z_j|^{m+1}} < \infty\), entonces \(g(z) := \frac{a_0}{z} + \sum_{j \geq 1} \frac{a_j}{z_j} L_m\left(\frac{z}{z_j}\right)\) define una función meromorfa con polos simples en los \(z_j\) y vale \(Res(g;z_j) = a_j\) para todo \(j \geq 0\).
(c) Deducir que si \(f\) es una función meromorfa con polos simples en los \(z_j\) con \(Res(f;z_j)=a_j\) entonces existe una función entera \(h\) tal que \(f=g+h\).
Problema 4
Sea \(c \in \mathbb{C}\) tal que \(\text{Re}(c) > 1\). Probar que la ecuación \(e^{-z} + z - c = 0\) tiene una única solución en \(\{\text{Re}(z) > 0\}\).
Sugerencia: considerar el camino formado por el segmento \([iR,-iR]\) y el semicírculo \(Re^{it}\), \(-\pi / 2 \leq t \leq \pi / 2\).