1)Sea h una homografia tal que h(2i)=1, h(-2i)=-2 y h(1) pertenece a la circunferencia de centro 2 y radio 2. Probar que h(2) tambien pertenece a la circunferencia de centro 2 y radio 2.
Yo hice lo siguiente: Calcule el simetrico del -2 con respecto a la \({B}_{2} (2)\). Da 1.
Ahora, como 2i y-2i son simetricos con respecto a \(\mathbb_{R}\), entonces h(2i)=1 y h(-2i)=-2 son simetricos respecto a h(\(\mathbb_{R}\)). Entonces aca viene mi duda. Si dos puntos son simetricos con respecto a dos circunferencias, entonces las dos circunferencias son iguales?? Porq yo afirmaria entonces que h(\(\mathbb_{R)\))=\({B}_{2}(2)\)
Ahora bien, nunca use que "h(1) pertenece a la circunferencia de centro 2 y radio 2", asi que algo mal tiene que haber.
2)Tengo \(\int \frac{\exp{z} + 1}{\sin(z + i)}\) sobre la curva \(\gamma (t)=2\exp{it} con 0\leq t \leq 2\pi\)
Se supone que tengo q usar la formula de cauchy; ahora, como hago para transformar eso en lo q busco. Digo, en general, cuando aparecen funciones feas en el denominador
3) Sea f holomorfa tal que Im(f(z)) es postiva para todo z, entonces f es constante. Yo habia propuesto g(z)=\(\exp{if(z)}\) y usando liouville me habia quedado constante. Bastaba probar que si tengo w y z, y f(w)=f(z) +2k\(\pi\) i, entonces k=0. De donde puedo ver esto?
En el primero es fundamental el hecho de que h(1) pertenezca a la bola de radio 2 centrada en 2. Para que te quede determinada la homografia en este caso, estas mandando, el 2i que es un punto que no esta en la recta real, en el 1, un punto que no esta en la circunferencia, el simetrico de 2i con respecto a R, que es -2i al simetrico de 1 con respecto a la circunferencia y por ultimo 1, que esta en tu recta, en la circunferencia, esto escrito mas conciso es:
(z,1,2i,-2i)=(w,w0,1,-2), es decir, la homografia que a 1, 2i, -2i, le asigna w0 (que esta en la circunferencia) a 1, 1 a 2i y -2 a -2i. Ahora lo que uno hace es despejar esta igualdad con respecto a w y te queda que solo tiene una solucion.
el 2) escuche que lo consultaron y que sale con algo de "polos" y el 3) una vez que tenes f(z)-f(w)=2kpi para todo z, tenes una diferencia de funciones continuas , asi que es continua, manda conexos en conexos por lo tanto k es cte con respecto a todos los z, luego si tomas z=w, te queda que k es 0.
(z,1,2i,-2i)=(w,w0,1,-2), es decir, la homografia que a 1, 2i, -2i, le asigna w0 (que esta en la circunferencia) a 1, 1 a 2i y -2 a -2i. Ahora lo que uno hace es despejar esta igualdad con respecto a w y te queda que solo tiene una solucion.
al igualar esas razones dobles, lo q hiciste es igualar las imagenes de dos homografias, una q manda 1 al 0, 2i al 1 y -2i al inf y la otra wo al 0, 1 al 1 y -2 al inf...
no veo la relacion con lo me pusiste en el primer parrafo
Vos sabes que si T es una homografia (Tz1,Tz2,Tz3,Tz4)=(z1,z2,z3,z4)
a su vez (z,z2,z3,z4) te define la homografia que manda el z2 en 0, z3 en 1 y z4 en infinito.
De esta manera si vos tenes Tz=(z,z1,z2,z3) Hw=(w,w1,w2,w3). Si vos buscas la homografia que mande el z1 en w1, el z2 en w2 y el z3 en w3. Vos buscas la funcion H^-1 o T(z) Pero esto es precisamente despejar la igualdad de las razones dobles.
En este caso vos no sabes bien a donde te manda todos los puntos, pero sabes que una homografia respeta simetrias y las razones dobles. Asi, de esta forma, vos podes obtener una ecuacion de donde despejar la imagen de la homografia que buscas.(sin el dato de que manda el 1 en algun punto de la otra circunferencia, esto no lo podes plantear).