[No resuelto] Practica 5 Ejercicio 7

Me ayudan con estos determinantes? Me imagino que deben tener los dos un truco parecido para resolverlas, pero ni idea.

Desde ya gracias.

Fijate como se calcula el determinante de Vandermonde, la idea para estos es similar...

Quimey escribió:

Fijate como se calcula el determinante de Vandermonde, la idea para estos es similar...

Lo pense así, pero el problema es que el polinomio que quedaría es de grado 4 y solo encuentro 3 raices. Y no se me ocurre como encontrar la otra raiz o como cambiar el determinante a algo que sí pueda.

Escribí acá lo que hiciste (usando \(\LaTeX\) obvio) y te ayudo.

No sé usar latex, pero lo que hice básicamente fue restar columnas y filas para ver si quedaba algo con lo que supiera que hacer, pero no funcionó.
Lo que digo del polinomio es que en ambos determinantes va a haber terminos de grado 4 para d. Y las únicas raices evidentes de ese polinomio son d=a, d=b, y d=c. Y no se me ocurre como conseguir la otra raiz para poder aplicar el razonamiento que se usa para calcular el determinante de Vandermonde.

Yo pensaba en hacer solamente operaciones de filas y columnas al estilo Vandermonde. Después de hacer algunas manipulaciones llego a
\((d-a)(c-a)(b-a)(d-b)(c-b)(d-c)\bigl((1+a)bcd-(1-a)cd+(1-a)(1-b)d-(1-a)(1-b)(1-c)\bigr)\) (y Mathematica confirma que está bien)

cristiandesivo escribió:

Lo pense así, pero el problema es que el polinomio que quedaría es de grado 4 y solo encuentro 3 raices. Y no se me ocurre como encontrar la otra raiz o como cambiar el determinante a algo que sí pueda.

Si el polinomio es de grado 4, y conocés 3 raíces, dividís por el polinomio \(p(X)=(X-{r}_{1})(X-{r}_{2})(X-{r}_{3})\) y obtenés la que falta!

El problema es que no conoces al polinomio (que vendría a ser el determinante), pero si conocieras todas sus raíces lo podés calcular a menos de múltiplo escalar.

Hola! no te la compliques calculando el polinomio, estos ejercicios son justamente para que no hagas eso. Usa la propiedad del determinante que es una función multilineal y alternada. en el 1 usa que separa la suma de las columnas y anda separandolas. Dsp usa el determinante de vandermonde. En el 2 triangula para que te quede una columna de ceros en la primer columna. Hace \(F_2 \rightarrow F_2-a^2 F_1\) y así en la fila 3 y 4. Dsp desarrolla por la primer columna. Ahora te quedó una matriz de \(3 x 3\). Usa que separa la suma en las columnas y saca escalares afuera de las columnas. Repeti y al final usas Vandermonde y listo.