Bueno, en realidad no se si está bien, por eso lo pongo:
$$$Probar que tales cosas definen un producto interno.$$
$$<,>:K^n X K^n \rightarrow K, <x, y> = \overline{y}. Q^{\star} .Q.x^t, $con K = $\mathbb{R}$ o $K = \mathbb{C}$$$
$$$Donde Q $\in K^{nXn}$ es una matriz inversible$$
\($Quiero ver que es lineal, o sea:\)
$$c(<x,y>+<x',y>) = <c(x+x'),y>$$
$$<c(x+x'),y>=\overline{y}. Q^{\star} .Q. {(c(x'+x))}^t=\overline{y}. Q^{\star} .Q. {(cx+cx')}^t=$$
$$=\overline{y}. Q^{\star} .Q. ({cx}^t+{cx'}^t)=\overline{y}. Q^{\star} .Q.cx^t + \overline{y}. Q^{\star} .Q.cx'^t=$$
$$=c (<x,y> + <x',y>)$$
$$$Ahora, quiero ver que:$$
$$<x,y> = \overline{<y,x>}$$
$$<x,y>=\overline{y}. Q^{\star} .Q. x^t= {\overline{y}^t}^t. {\overline{Q}}^{t} .{Q^t}^t. x^t=$$
$$$Recordando que $(A.B)^t = B^t . A^t$$
$$=({{\overline{Q}^t}. {\overline{y}}})^{t} .({x.{Q^t}})^t=({x.{Q^t}}.{{\overline{Q}^t}. {\overline{y}}})^t=$$
$$\overline{\overline{({x.{Q^t}}.{{\overline{Q}^t}. {\overline{y}}})^t}}= \overline{(\overline{x.{Q^t}}.{{{Q}^t}. {{y}}})^t}=\overline{<y,x>}$$
$$$Falta ver que $<x,x> > 0$ sii $x\neq 0$$
$$<x,x> = \overline{x}. Q^{\star} .Q.x^t= \overline{xQ^t}{(xQ^t)}^t=\overline{x}(xQ^t\overline{Q})^t=$$
\($Y ahora que hago?\)
$$$Me falta ver que $<x,x> > 0$ sii x $\neq 0$$
Como lo hago?
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