A ver si salgo un poco del horno...
Ejercicio 12:
i)Sabemos que \(P(A) = 0 \iff P = m_A . Q\).
Pero sabemos que \(\lambda$ es autovalor de $A \iff m_A(\lambda) = 0\).
Juntando esto, sabemos que \(\forall\ \lambda$ autovalor de $A$, $P(A) = 0 \Rightarrow P(\lambda) = 0\).
También sabemos que los autovalores de \(A^2+2A\) son -1, 3 y 8.
Sea \(\lambda\) autovalor de A. Entonces existe \(v \in \mathbb{R}^3\), \(v \ne 0\) tal que \(A\cdot v = \lambda\cdot v\). Es fácil ver, entonces, que para cualquier polinomio \(P \in \mathbb{R}[X]\), \(P(\lambda)\) es autovalor de \(P(A)\).
Sea \(P = x^2+2x\). Entonces, si \(\lambda\) es autovalor de A, \(\lambda^2+2\lambda\) es autovalor de \(A^2+2A\). Esto vale para todo \(\lambda\) autovalor de \(A\).
Entonces para encontrar los \(\lambda\) posibles, tenemos que ver que \(\lambda^2 + 2\lambda = -1$, $3$, u $8\).
\(\lambda^2+2\lambda+1 = 0\) tiene como raices a -1.
\(\lambda^2+2\lambda-3 = 0\) tiene como raices a 1 y a -3.
\(\lambda^2+2\lambda-8 = 0\) tiene como raices a 2 y a -4.
Vemos que si seleccionamos \(\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -4\), funciona el ejercicio.
ii)
Parecido.
-4 es autovalor de \(A - 3.I_4\). Entonces \(\exists\ v \in \mathbb{R}^3\) tal que \((A - 3.I_4)v = -4v \iff Av - 3v = -4v \iff Av = -v\). Entonces -1 es autovalor.
Pero entonces tenemos de autovaloes -1, 1, y -2, y tenemos que hacer que, multiplicados, sean 6 (dado que el determinante es la mulciplicación de los autovalores). Claramente el único otro autovalor posible es 3.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
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