$$$Calcular el polinomio caracteristico y el polinomio minimal de:$$$
$$\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 &0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{n-2} \\0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a_{n-1} \end{matrix}\right)$$
\($Vamos con el caracter\'istico:$\)
$$\chi (\lambda) = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ -1 & \lambda & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\0 & -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-2} \\0 & 0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n-1} \end{vmatrix}$$
$$$Para n= 2 (dado que para n = 1 es trivial)$$$
$$\begin{vmatrix} \lambda & a_0 \\ -1 & a_1 + \lambda \end{vmatrix}= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0$$
$$$Luego, probemos que $ n-1\Rightarrow n$ = a_0$$
$$$Quiero probar que:$ \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\0 & -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}= \sum_{i=0}^{n} a_i\lambda^i$$$
$$$Tomo el determinante por la columna 1$$$
$$\begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\0 & -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}= \lambda \begin{vmatrix}\lambda & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\-1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}=$$
POR HIPÓTESIS INDUCTIVA
$$=\lambda \sum_{i=0}^{n-1} a_i\lambda^i + \begin{vmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}^{\color{red}{\bigstar}}$$
$$$Bueno, ya casi. Falta sacar el determinante de la segunda matr\'iz$$
$$$Voy a tomar el caso n=3 de la matr\'iz$$
$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}$$
$$\begin{vmatrix} 0&0& a_0 \\ -1 & \lambda & a_2 \\ 0 & -1 & a_3 + \lambda \end{vmatrix} = a_0$$
$$$Si vale para n-1, quiero ver que vale para n. Tomo el det por la columna 1$$
$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix} \Rightarrow $Por hip inductiva$ = a_0$$
$$$Volviendo a {\color{red}{\bigstar}},$$
$$\lambda \sum_{i=0}^{n-1} a_i\lambda^i + \begin{vmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & \lambda & \ldots & 0 & a_2 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & \ldots & \lambda & a_{n-1} \\0 & 0 & \ldots & -1 &\lambda + a_{n} \end{vmatrix}=\[ \lambda \sum_{i=0}^{n-1} a_i\lambda^i\] + a_0 =$$
$$a_0 + \sum_{i=1}^{n} a_i\lambda^i= \sum_{i=0}^{n} a_i\lambda^i$$
\(\blacksquare\)
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