En realidad mi pregunta más que como se hace es "que dijo Georgina sobre..." porque no me acuerdo (perdón, no aprobar el primer parcial me estupidizó...)
i) Sea \(A \in \mathbb{R}^{3x3}\) diagonalizable con \(tr(A) = -4\). Calcular los autovalores de\(A\), sabiendo que los autovalores de \(A^2 + 2.A\) son \(-1, 3\) y \(8\)
Se supone que había algo muy copado sobre la evaluación en \(A^2 + 2.A\), pero no me acuerdo 🙁.
Un saludo y desde ya gracias por salvar mi estupidez.
Pero entonces el dato, por lo que se me ocurre, no me sirve con esa propiedad. ¿no?.
La idea que -1,8,3 sean autovalores de A^2 + 2A no me da información sobre los autovalores de A..
Lo único que se me ocurrió es que el polinomio característico de A debe ser de grado 3 y mónico, además el coeficiente que acompaña a x^2 debe ser -tr(A). Entonces me queda una cosa así...
Y me trabé, lo otro que se me ocurrió es medio chamuyo (creo...)
si \(\lambda_1\) es autovalor de \(A \Rightarrow {\lambda_1}^2\) es autovalor de \(A^2\)
Supongo que esto es cierto.. (tomo la matriz diagonal, si hago \(A\cdot A\) es elevar los autovalores al cuadrado con lo que valdría...)
De la misma manera con los escalares, en particular con 2...
Hola!
Sabés que A es diagonalizable y es de 3x3, entonces, tiene 3 autovalores y además, la suma de ellos da -4.
Ahora, ¿cómo relaciono con el dato que me dan?
Como bien dijo Quimey, la propiedad es que si \(\lambda\) es autovalor de A, entonces \(p(\lambda)\) es autovalor de p(A).
Acá el p(t) es \(p(t)=t^{2}+2t\)
Y si -1, 3 y 8 son autovalores de p(A), tengo que buscar los \(\lambda\) tales que:
Resuelvo cada cuentita y me dan, de la primera: \(\lambda_{1}=-1\); de la segunda \(\lambda_{2}=1\) y \(\lambda_{2}=-3\); y de la tercera \(\lambda_{3}=2\) y \(\lambda_{3}=-4\)
Ahora tengo que buscar la combinación tal que la suma me de -4.
Tomando -1, 1 y -4 ,cumplen.
Y esos son los autovalores de A.
Pd. Puede que le haya pifeado en algo 😳
Firma
"Das, was man sich vorstellt, braucht man nie zu verhein"
