[No resuelto]Ejercicio 20. práctica 6 1ºcuatrimestre 2009

Sea \(A\in{\mathbb{R}}^{n \times n}\). Probar que el minimal de \(A\) como matriz real y el minimal de \(A\) como matriz compleja coinciden.

Quizá te sea util probar primero que:
Si A y B son matrices reales que son semejantes como matrices complejas entonces son semejantes como matrices reales.

Firma

Quimey

Mil gracias Quimey, ahora me pongo con los dos a ver si llego a algo y lo posteo.
Saludos.

Sin el resultado de Quimey:
El minimal de \(A\) es el único polinomio mónico de grado mínimo \(p\) que anula a \(A\). Si \({m}_{A}\) es el minimal de \(A\) como matriz real, entonces \({m}_{A}(A)\eq=0\). Ahora, hay que ver que es el minimal de \(A\) como matriz compleja. Si \(p\) denota a este minimal, se tiene \(p(A)\eq=0\) y de grado mínimo. Notando \(Re(p)\) la parte real del polinomio y \(Im(p)\) la parte imaginaria(esto es, si \(p\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}({a}_{i}+i{b}_{i}){X}^{i}\) entonces \(Re(p)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{a}_{i}{X}^{i},Im(p)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{b}_{i}{X}^{i}\)), se tiene \(p\eq=Re(p)+iIm(p)\). Evaluando en \(A\):

Como \(A\) es una matriz real, lo de arriba solo puede ocurrir si: y cada polinomio \(Re(p),Im(p)\) son polinomios reales que anulan a \(A\). Por otro lado, como \(p\) era mónico entonces \(Re(p)\) tendrá el mismo grado de \(p\). Usando que \({m}_{A}\) es el polinomio minimal, se deduce(por unicidad) que \({m}_{A}\eq=Re(p)\) y \(Im(p)\eq=0\)(pues el grado de \(Im(p)\) es más chico que el minimal). O sea, que \(p\eq={m}_{A}\), es decir coinciden los minimales. Fijate si sirve. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities