Sea \((V,<,>)\) un espacio vectorial de dimensión finita, con producto interno, y sea \(f\in \End(V)\) tal que \(<v,f(v)>\eq=0,\forall V\). Probar que \({f}^{2}\) es autoadjunta.
Bueno, primero notemos \(<f(v),w>\eq=<v,{f}^{\ast}(w)>\eq=\overline{<{f}^{\ast}(w),v>}\). Luego...
Sea \(B\eq=\{{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{n}\}\) una base ortonormal de \(V\). Tenemos:
$$<{v}_{i},f({v}_{i})>=0\implies f({v}_{i})\in {<{v}_{i}>}^{\perp}$$
Luego, con esto, sabemos que \({(f({v}_{i})}_{B}\eq=(<f({v}_{i}),{v}_{1}>,\cdots ,<f({v}_{i}),{v}_{i-1}>,0,<f({v}_{i}),{v}_{i+1}>,\cdots ,<f({v}_{i}),{v}_{n})\)
Ahora, estamos en condiciones de armar \({|f|}_{B}\):
$${|f|}_{B}\eq=\begin{pmatrix} 0 & <f({v}_{2}),{v}_{1}> & \cdots & <f({v}_{n}),{v}_{1}>\\ <f({v}_{1}),{v}_{2}> & 0 & \cdots & <f({v}_{n}),{v}_{2}>\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ <f({v}_{1}),{v}_{n}> & <f({v}_{2}),{v}_{n}> & \cdots & 0\end{pmatrix}$$
Ahora, ya sabemos quién es la adjunta...
$${|{f}^{\ast}|}_{B}\eq=\overline{{|f|}_{B}^{t}}\eq=\begin{pmatrix} 0 & \overline{<f({v}_{1}),{v}_{2}>} & \cdots & \overline{<f({v}_{1}),{v}_{n}>}\\ \overline{<f({v}_{2}),{v}_{1}>} & 0 & \cdots & \overline{<f({v}_{2}),{v}_{n}>}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \overline{<f({v}_{n}),{v}_{1}>} & \overline{<f({v}_{n}),{v}_{2}>} & \cdots & 0\end{pmatrix}$$
Bueno, ahora, calculemos \({{|f|}_{B}}^{2}\):
$${{|f|}_{B}^{2}}_{ij}\eq={{|f|}_{B}\cdot {|f|}_{B}}_{ij}\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{{|f|}_{B}}_{ik}\cdot {{|f|}_{B}}_{kj}\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}<f({v}_{k}),{v}_{i}>\cdot <f({v}_{j},{v}_{k}>\eq=$$
$$\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}<{v}_{k},{f}^{\ast}({v}_{i})>\cdot <{v}_{j},{f}^{\ast}({v}_{k})>\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}\overline{<{f}^{\ast}({v}_{i}),{v}_{k}>}\cdot \overline{<{f}^{\ast}({v}_{k}),{v}_{j}>}\eq=$$
$$\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{\overline{|f|_{B}}}_{ki}\cdot {\overline{|f|_{B}}}_{jk}\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{\overline{|f|_{B}}}_{jk} \cdot {\overline{|f|_{B}}}_{ki}\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}\overline{{|{f}^{\ast}|_{B}}_{jk} \cdot {|{f}^{\ast}|_{B}}_{ki}}\eq=\overline{{|{f}^{\ast}|}_{B}\cdot {|f}^{\ast}|}_{B}}_{ji}}\eq=\overline{{|{{f}^{\ast}}^{2}|}_{ji}}$$
O sea, todo esto para concluir que la matriz es hermitiana en una base ortonormal \(B\) de \(V\)... lo que dice que \({f}^{2}\) es autoadjunta como queríamos probar.
Fin
Ufff.... qué molesto escribir todo esto. Espero que sirva. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities