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[Resuelto] 2do P, 2do cuatrimestre 2009, ej 1

5 respuestas 6816 visitas 2009-12-19

#1 FJL 2009-12-19 20:10

\noindent Ejercicio 1. Hallar todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ tales que la siguiente matriz sea diagonalizable:

A = \begin{pmatrix}k & 1 & k+k^2 & -k^2 \\ 0 & k+1 & 0 & k \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k+1\end{pmatrix}

Nos piden que sea diagonalizable. Un criterio fácil para diagonalización es ver si su minimal se factoriza linealmente. Entonces, veamos cual es el característico, dado que el característico y el minimal van a tener las mismas raíces.

\chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix}\lambda - k & -1 & -k-k^2 & k^2\\0 & \lambda-(k+1) & 0 & -k \\ 0 & -1 & \lambda - k & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-(k+1)\end{vmatrix}\\ = (\lambda - k).\begin{vmatrix}\lambda - (k+1) & 0 & -k \\ -1 & \lambda-k & -1 \\ 0 & 0 & \lambda-(k+1)\end{vmatrix} \\ &= (\lambda-k)(\lambda - (k+1)).\begin{vmatrix}\lambda - (k+1) & 0 \\ -1 & \lambda - k\end{vmatrix} \\ & = (\lambda-k)(\lambda-(k+1))(\lambda - (k+1))(\lambda-k) \\ & = (\lambda-k)^2(\lambda-(k+1))^2

Entonces las raices son \(k\) y \(k+1\), y los posibles minimales van a ser \((x-k)(x-(k+1))\), \((x-k)(x-(k+1))^2\), \((x-k)^2(x-(k+1))\), y \((x-k)^2(x-(k+1))^2\).

Para saber cual va a ser, me fijo en los núcleos de \(A - \lambda I\) para los lambda autovalores, que son las raíces del polinomio característico.

(A - kI) = \begin{pmatrix}0 & 1 & k+k^2 & -k^2 \\ 0 & 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

(A - (k+1)I) = \begin{pmatrix}-1 & 1 & k+k^2 & -k^2 \\ 0 & 0 & 0 & k \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

\\Nu(A - kI): \\ x_4 = 0 \\ x_2 + x_4 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \\ x_2 + kx_4 = 0 \\ x_2 + (k+k^2)x_3 - k^2x_4 = 0 \iff (k+k^2)x_3 = 0

Entonces, si \(k = 0 \lor k = -1\), \(Nu(A - kI) = \langle(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)\rangle\).
En otro caso, \(Nu(A - kI) = \langle(1, 0, 0, 0)\rangle\).

(A-kI)^2 = \begin{pmatrix}0 & k^2+k+1 & 0 & 2k \\ 0 & 1 & 0 & 2k \\ 0 & 1 & 0 & k+1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

\\Nu((A - kI)^2): \\ x_4 = 0 \\ x_2 = 0 \\ \Rightarrow \langle(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0)\rangle

No me fijo más potencias porque \(mult(k, \chi_A) = 2\). El núcleo de \((A - kI)^2\) tiene dim 2, independientemente de \(k\). Si \(k = 0 \lor k = -1\), el núcleo no creció al exponenciar, entonces el exponente en el minimal de \((x-k)\) era 1. De lo contrario, el núcleo creció, entonces \(mult(k, m_A) = 2\) y no sería diagonalizable (la mult. podría ser más, hipotéticamente, pero está acotada superiormente por la mult en el característico, que es 2).

Entonces, una condicion necesaria, pero no suficiente para que sea diagonalizable, es que \(k = 0 \lor k = -1\).

Ahora me fijo el otro autovalor.

(A - (k+1)I) = \begin{pmatrix}-1 & 1 & k+k^2 & -k^2 \\ 0 & 0 & 0 & k \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

. \(\\Nu(A - (k+1)I):\\kx_4 = 0 \\ x_3 = x_2 + x_4 \\ x_1 = x_2 + (k+k^2)x_3 - k^2x_4\). Si \(k\ne 0\) (entonces \(k = -1\) para que sea diagonalizable), entonces \(x_4 = 0 \land x_3 = x_2 \land x_1 = x_2 - x_4\).

\Rightarrow \langle(1, 1, 1, 0)\rangle

Si \(k=0\),
\(\\x_2 - x_3 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = x_2 + x_4\\x_1 = x_2\\ \Rightarrow \langle(1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)\rangle\).

Si \(k=0\),
\(\\Nu((A- (k+1)I)^2) = Nu((A - I)^2) : \\ x_1 = x_2 \\ x_4 = x_3-x_2\\\Rightarrow \langle(1, 1, 0, -1), (0, 0, 1, 1)\rangle\).
Se puede ver que \(\langle(1, 1, 0, -1), (0, 0, 1, 1)\rangle = \langle(1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)\rangle\), porque elegí \(x_3 = x_2 + x_4\) en vez de \(x_4 = x_3 - x_2\).
Entonces si \(k=0\), el núcleo no cambió, y entonces \(mult(k+1, m_A) = 1\).
Me fijo con \(k=-1\).

\\Nu((A - (k+1)I)^2) = Nu(A^2) = \langle(1, 1, 1, 0), (0, 0, 2, 1)\rangle

Pero entonces si \(k=-1\), mi núcleo creció, porque antes era \(\langle(1, 1, 1, 0)\rangle\) y ahora es \(\langle(1, 1, 1, 0), (0, 0, 2, 1)\rangle\). Entonces no sería diagonalizable, porque \(mult(k+1, m_A) = 2\).

\(\Rightarrow k = 0\).
El minimal quedaría \((\lambda - k)(\lambda - (k+1)) = \lambda(\lambda - 1)\).

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

#2 Diego.- 2009-12-19 20:18

Un amigo mio la hizo de una manera mucho mas eficiente

Calculas las raices del caracteristico, que son k y k+1, luego, como la matriz es diagonalisable sii el minimal es producto de factores lineales, y como las raices del caracteristico, son del minimal, solo tengo que hacer el producto (A-kI)(A-(k+1)I), hago el producto, y me va a quedar se anula solo en el 0

#3 FJL 2009-12-19 20:29

Es buena, sí. Toma en cuenta que no tenés que encontrar el minimal, ya sabés que minimal querés tener.

#4 Maxtwo 2009-12-19 22:46

Diego.- escribió:

Un amigo mio la hizo de una manera mucho mas eficiente

Calculas las raices del caracteristico, que son k y k+1, luego, como la matriz es diagonalisable sii el minimal es producto de factores lineales, y como las raices del caracteristico, son del minimal, solo tengo que hacer el producto (A-kI)(A-(k+1)I), hago el producto, y me va a quedar se anula solo en el 0

Lo pense en el parcial, pero no te quedan cuentas horribles?

#5 Diego.- 2009-12-20 02:41

Mas feo que buscar los nucloes y considerar casos? ni ahi

Es un producto de 2 matrices de 4x4, que encima, tiene varios ceros

#6 Maxtwo 2009-12-20 03:39

Que salame, yo hice la cuenta escribiendo todo el polinomio :S Jajajajaja.