Me quedè con bronca porque no me salíó y encima se me acabó el tiempo...parecìa ser "el ejercicio", ese que a nadie le salìa... POR FAVOR AYUDA!!! Quiero saber...
Sea A una matriz inversible.
b) probar que el conjunto generado por A, A^2 y A^3 tiene dimensión 2 si y solo si el conjunto generado por Adj (A), Adj (A^2) Adj (A^3) tiene dimensión dos.
La parte a era un poco màs sencilla, la dejo igual
a) probar que {A, A^2 y A^3} es linealmente indep si y solo si {Adj (A), Adj (A^2) Adj (A^3)} es linealmente indep.
Bueno lo dejo ahi...m e voy a disfrutar del finde largooo!!!
Como \(A\) es inversible entonces \(A^2\) y \(A^3\) tmb lo son.
y Hay que recordar que \(A.adj(A)=det(A)I\) entonces \(adj(A)=det(A)A^{-1} / adj(A^2)=det(A^2)A^{-2} / adj(A^3)=det(A^3)A^{-3}\)
y sabes que \(dim{A, A^2 y A^3}=2\) entonces agarra 2 de esos elementos que sean l.i y vas a poder probar que sus respectivas adjuntas son l.i.
es decir si \({A, A^3}\)son l.i. veamos que \({adj(A), adj(A^3)}\)es l.i
\(x adj(A)+y adj(A^3)=x det(A)A^{-1}+ydet(A^3)A^{-3}=0\) ahora multiplicas por \(A^4\)a ambos lados \(x det(A) A^3 + y det(A^3) A= 0\) entonces como \({A, A^3}\) son l.i. \(xdet(A)=0\) y \(y det(A^3)=0\) y como \(det(A)\) y \(det(A^3)\)son distintos de cero entonces \(x=y=0\)
y asi con los demas casos.
como fue el parcial ale, mas alla de este ejercicio?
saludos
Como \(A\in GL(n,k)\) entonces \({A^{-1}=\frac{\tilde{A}}{det(A)}}\)
Por inducción se prueba que:
"\({(\tilde{A})}^n = \tilde{A^n}\) "
Probemos por inducción que:
Si \(A\in GL(n,k)\)
P(n):=" \(\exists{(A^n)}^{-1}\) y vale que \({(A^n)}^{-1}={(A^{-1})}^n\)"
P(1) es por definición(creo)
y a partir de acá se me acabo el tiempo y no lo pude seguir en el parcial
pero se vé que \(Dim(<A^i>_{i\in [1,3]})=Dim(<{A^{-i}}>_{i\in [1,3]})\)
El punto a) es para cuando la dimensión es 3 y el punto b) es cuando la dimensión es 2.
ahora no me acuerdo bien porque pasò todo el finde...
pero màs o menos era asì (despuès cuando me lo entreguen lo posteo si puedo)
S un subespacio de polinomios de grado 2 de dim 1 y pedían armar una t.l. no nula f tal que f(S)=0 y f^2=0. Despuès había qe probar que Nuf no es S.
Había que armar un proyector de R^3. Te daban las imágenes de dos vectores y solo faltaba hallar la imagen de una de manera conveniente.
3)Algo de base dual que no era dificil... ahora no me lo acuerdo pero era algo como que te daban una base de algun espacio V y despuès un conjunto en V* y habìa que ver qe era base de V*
ya dije.... 😈
Te daban una t.l. de C^2 en C^2 dada por f(w,z)=(z,4w) yhabía que diagonalizarla si se podìa
En tu demo juanma... vos probàs qe adj A y adj A^3 son l.i... pero eso no te asegura que el conjunto sea l.i.!! podrìa ser que adj A^2 sea l.i. con estas dos y en ese caso dim = 3!!! ¿no es asi? o me perdì de algo ?
En tu demo juanma... vos probàs qe adj A y adj A^3 son l.i... pero eso no te asegura que el conjunto sea l.i.!! podrìa ser que adj A^2 sea l.i. con estas dos y en ese caso dim = 3!!! ¿no es asi? o me perdì de algo ?
no, porque ahi usas la parte a del ejercicio, no podria pasar que \(adj(A),adj(A^2),adj(A^3)\) sean l.i. porque sino\(A,A^2,A^3\) seria l.i. y entonces la dimension no es 2
