Dadas \(A,B \in M_n( \mathbb{C})\), sea \(C = AB - BA.\) Probar que si \(C\) conmuta con \(A\), entonces \(C\) es nilpotente.
Sugerencia: Si \(A \in M_n( \mathbb{C})\) con autovalores \(\lambda_1,...,\lambda_n\) contados con multiplicidad probar que \(Tr(A^k)= \sum_{i=1}^{n} {\lambda_i}^k\) para todo \(k \in \mathbb{N}\)
Deducir que si \(A,B \in M_n( \mathbb{C})\) tales que \(Tr(A^k)=Tr(B^k) \forall k \in \mathbb{N}\) entonces \(A\) y \(B\) tienen los mismos autovalores
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