Final Solotar 13 de setiembre de 2011

1. Sea \(\psi \in \mathbb{R} [X]^*\)
   Probar que \(\psi(P.Q)=\psi(P).\psi(Q)\iff\) Existe \(x_0\in \mathbb{R}\) tal que \(\psi(P) = P(x_0)\) o bien \(\psi \equiv 0\)

2. Sea V un e-v de dimensión finita y f,g TL. Probar que si \(fg = id \Rightarrow g=f^{-1}\)
   Mostrar con un contraejemplo que la hipótesis de finitud es necesaria.

3. a)Sea V un e-v con producto interno. A,B TL autoadjuntas.
   Probar que AB es autoadjunta \(\iff AB=BA\)

b) Sea E tal que \(E^2 = E\). Probar que E es autoadjunto \(\iff EE^* = E^* E\)

4. Sea P un polinomio irreducible en K[X] y V un K-ev. Sea A una TL tal que
   \(\chi_A=P^n = m_a\)Probar que no existe un subespacio A-invariante con complemento invariante (salvo V o 0).

\(\Leftarrow)\) Notar que \(\psi(X^n)=\psi(XXXXXX...X)= (\psi(X))^n\) (1)
Si \(\psi(X) \neq 0 \Rightarrow x_0:=\psi(X)\)
Sea P un polinomio,

Si \(\psi(X)=0 \psi (P)=\psi(\sum_{i=0}^{n} \alpha_i X^i)=\psi(\alpha_0)\) (Recordar (1) )
si \(\psi (1) = 0 \Rightarrow \psi \equiv 0\)
si \(\psi (1) \neq 0 \Rightarrow \psi^2(1)= \psi(1^2)=\psi(1) \Righarrow psi(1)=1\)
En este caso, defino \(x_0=0\)

\(\Rightarrow)\) Sean P y Q polinomios: \(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\alpha_i\beta_j \psi (X^{i+j}) =\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}\alpha_i\beta_j X_0^{i+j} =\sum_{i=0}^{n}\alpha_i X_0^i \sum_{j=0}^{m}\beta_j X_0^{j} = P(x_0)Q(x_0)\)

\(fg=id \Rightarrow det(fg)=det(f)det(g)=id \Rightarrow det(f),det(g) \neq 0 \Rightarrow f,g\) son inversibles.

Luego \(fg=gf = id\) y por lo tango \(g= f^{-1}\)

El contraejemplo es la derivada de polinomios y la integral pues tomo P= X +1

\(\frac{d\int P dX}{dX} = P\)

a)
\(\Leftarrow)\)Recordar que \(A=A^*\) y \(B=B^*\)

Luego \(AB=(AB)^*\) \Rightarrow) Es la misma cuenta: Por otro lado \(<ABv,w> <v,B^*A^*w= <v,BAw>\) Como la adjunta es única, \(AB = BA.\) b) \(\Rightarrow) E.E^*=EE\) y\(E^*E= E.E\) \Leftarrow) Es la única que hice con dudas. Me la pusieron bien pero prefiero que alguien ponga otra demostración porque para mi que no es correcto lo que pensé.

Supongamos que\(V= S \oplus T\) con S A-invariante.

Como P es irreducible, \(m_S= P^s , m_T=P^t con t,s \leq n\) Como \(m_A=mcm(m_S,m_T) y \chi_A = m_A, s=n\; o \; t=n.\) Que es lo que quería probar.

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Pensando el 3b, la parte que no quise poner, creo uqe sale así:
Como \(E=E^2 \Rightarrow Q(X)=X^2-X\) anula a E. Esto implica que \(m_E\) divide a \(Q\).
Como Q tiene todas sus raíces simples (de 1 y 0) entonces E es diagonalizable con 1 y 0 en la diagonal.
Además\(E^*\) es también diagonalizable y como \(EE^* = E^* E\) entonces se pueden diagonalizar sobre una misma base.
De aquí es fácil ver que \(E=E^*\)