Tema

Ejercicio difícil de Dual

1 respuestas 5459 visitas 2015-02-16

#1 billy 2015-02-16 20:57

Si \(\delta \in (K^{n \times n})^*\) / \(\delta(AB) = \delta(BA) \space \Rightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}\) / \(\delta(A) = \lambda tr(A)\)

Mi idea:
Empecé probando que tr es una función que cumple lo pedido. (Fácil)

Luego, tal vez se podría demostrar por inducción que un múltiplo de tr es la única que puede funcionar (y en realidad quedaría fija por \(\delta (Id)\)...pero no sé cómo. Tal vez usando que la función es lineal....

#2 billy 2015-02-16 21:32

Bueno, ya lo tengo. 🙂
Primero probemos que \(\delta (E_{ij}) = 0\) si \(i \neq j\)

Sea \(E_{ij}, i \neq j\).

\(E_{ij} E_{jj} = E_{ij},\) y \(E_{jj} E_{ij} = 0\).

Como \(\delta(AB) = \delta(BA)\), queda que \(\delta(E_{ij}) = \delta(0) = 0\) pues \(\delta\) es lineal.

Ahora probemos que \(\delta(E_{ii}) = k \space \ \forall \ 1 \leq i \leq n\).

Sea \(E_{ii}, E_{jj}\).

\(E_{ij} E_{ji}\) me da \(E_{ii},\) y \(E_{ji} E_{ij}\) me da \(E_{jj}\).

Análogamente, aplicando \(\delta\), me da lo que quería. Llamemos \(k = \delta(E_{ii})\)

Entonces, sea \(A \in K^{n \times n}\).

A = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}E_{ij}

\delta (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}E_{ij}) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\delta(E_{ij}) = \sum_{i=1}^{n} k a_{ii} = k tr(A).

Igual si alguien tiene otra idea, genial.