Ayuda con una demostración de polinomios LI!

Hola.
Me gustaría poder ver una demostración para la siguiente proposición.

Proposición:
Dado \(k\in\mathbb{N} \cup \lbrace 0\rbrace\).
Sea \(\mathbb{V}={\mathbb{C}}_{\leq k}\left[ X\left]\). Sea \(p\in\mathbb{V}\) tal que \(gr(p)=k\).
Entonces el conjunto \(A_p=\lbrace p(x), p(x+1), ... , p(x+k) \rbrace\) es LI.

Corolario: El conjunto dado es una base del espacio vectorial \(\mathbb{V}\).

Gracias!

Te tiro la primer idea que se me ocurrió, creo que sirve. Vamos a probarlo por inducción en \(k\). Para \(k=0,1\) es evidente. Suponé que el resultado es cierto para polinomios de grado menor o igual a \(k\) y veamos que también es cierto para grado \(k+1\). Tomamos \(p\) un polinomio de grado \(k+1\) y consideramos \(q(x)=p(x+1)-p(x)\) que tiene grado menor o igual a \(k\). Me parece que si \(\mathcal{A}_p\) es linealmente dependiente entonces \(\mathcal{A}_q\) también (esto lo tenés que demostrar) lo que termina la demostración.

Si no te sale (o lo que digo es falso) chiflá y sigo pensando.