Como mate 2 no esta a la altura de lineal, no tenemos subforo, pero lo mando acá, perdón si pifie.
Dos dudas que deben ser bastante pavas, pero a nosotros los mortales de mate 2 nos cuestan.
Sea A \(\epsilon {{\it complex}}^{4\,{\it x4}}\) una matriz tal que su polinomio característico es \(\left( X-1 \right) ^{4}\). Probar que A es semejante a A^2.
Sea A \(\epsilon {{\mathbb{R}}}^{5\,{\it x5}}\) tal que su polinomio característico es \(\left( X-1 \right) ^{2}{X}^{3}\) ( (X-1)^2*X^3 ). Se Sabe que A es semejante a A^2. Hallar las posibles formas de Jordan de A.
En el uno no podés decir que como el único autovalor es el 1 entonces 0 no es "autovalor". Entonces
A es inversible, y como A es inversible A cuadrado también. Entonces dos matrices inversibles
son semejantes y ya está. Esto último no estoy muy seguro pero quizas ayude.
Suerte.
Puesto que si \(A=CJ_AC^{-1}\) (donde \(J_A\) es la forma de jordan de A, tenés que \(A^2=C(J_A)^2C^{-1}\) Luego podès ver que cada opción conduce a la misma forma de jordan elevando al cuadrado cada una de las opciones (no es muy difícil... aunque aburrido) y luego llevar esa matriz que te queda a su forma de jordan (esta serìa la forma de jordan de \(A^2\)) y comprobar que las formas de jordan coinciden. Listo
Acá estás usando obviamente que dos matrices son semejantes si y solo si tienen la misma forma de jordan
Con ese característico, tenés que el bloque de jordan de autovalor 1 tiene de máximo tamaño 2x2 (esto es, pueden ser dos bloques de 1x1, o un bloque de 2x2, no podès asegurar el máximo tamaño pues eso te lo dice el minimal, qe desconocés)
Lo mismo para el autovalor 0 (1 de 3x3, 1 de 2x2 y 1 de 1x1, o los tres de 1x1)
Esto te conduce a... 6 opciones. Finalmente, descartás las que su forma de jordan no coincide con las de \(A^2\) haciendo algo similar a lo del ej. 1 Aunque fijate que algunos casos son triviales, por ej el caso que A sea diagonalizable (todos los bloques de tamaño 1x1) ahi es obvio que A^2 va a tener la misma forma de jordan pues Se consigue elevando al cuadrado los autovalores( los elementos de la diagonal) y como son unos y ceros , te quedan igualitos. Los otros... hayque hacerlos