Hola, como están, estuve mirando el foro y me pareció muy bueno. Supongo que oportunamente podré colaborar en algo, pero empiezo mangueando ayuda.
Hace tiempo cursé una materia donde (si la memoria no me falla) probar un resultado era equivalente a probar lo siguiente:
Sea \($f(x) $\) un polinomio de grado n con coeficientes en \($\mathbb{R} $\).
Consideremos para cada \($i \in \mathbb{Z}\), los polinomios \(g_i(x) = f(x + i)$\), y el conjunto \($A=\{g_i \}_{i=0} ^{i=n-1}$\)
La pregunta es: ¿El conjunto A es linealmente independiente?
Me acuerdo (si la memoria no me falla) que el resultado salía pero muuuuy indirectamente. En su momento busqué una demostración elemental pero no la conseguí.
Como verán, puede ser que el resultado sea falso (si la memoria me falla).
$$$Vamos a probar lo siguiente por inducci\'on en $n$: el conjunto $A\cup g_n$ es independiente pero $A\cup \{g_n,g_{n+1}\}$ no. Con $n=0$ es trivial. Ve\'amoslo para $n\geqq 1$ asumiendo el caso $n$.$$
$$$Sea $T:\mathbb R_n[X] \rightarrow \mathbb R_n[X]$ dada por $T(p)(X)=p(X+1)$. Claramente es lineal. Queremos ver que si $\deg f = n$ entonces $f,Tf,\ldots,T^{n-1}f$ son linealmente independientes, lo cual es decir que $\deg m_f \geqq n$. Vemos $T$ en la base $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$; es diagonal superior y claramente $\chi_f = (X-1)^{n+1}$. Entonces $m_f = (X-1)^k$ para alg\'un $k$ no mayor a $n+1$. Queremos ver que ese $k$ es exactamente $n+1$.$$
$$$Basta ver que $(T-id)^nf \neq 0$. Sea $f=aX^n+h$ con $h\in \mathbb R_{n-1}[X]$ y $a\neq 0$. Tenemos $(T-id)^nf=a(T-id)^nX^n + (T-id)^nh = a(T-id)^nX^n$. Esto es $a\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j(X+n-j)^n$. Evaluamos en $X=0$ y obtenemos $an^n \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j\left(1-\frac jn\right)^n.$ La suma es la probabilidad de que al meter $n$ bolitas en $n$ cajas haya al menos una en cada caja, lo cual es posible con probabilidad $\frac{n!}{n^n}$, as\'i que es no nula y $(T-id)^nf \neq 0$, como quer\'iamos.\ \ \ \hbox{\vrule width 5pt height 10pt depth 0pt}$$
Comentario: es medio villero esto que hago de poner todo en latex porque como ciclos y ancho de banda, y aparte no pega con el resto del diseño de la página, pero me ahorro poner los corchete tex y además me gusta lo kitsch.
Firma
"En el principio existía la Palabra, y todo era texto." (San Juan Derrida)