Ejercicio de Final de Algebra

bueno me gustaria si alguien me puede dar un mano con este ejercicio, q me pidieron q postee dice algo asi

Sea (V, <,&gt😉 un espacio con producto interno de dimension n y sea f: V--> V una transformacion lineal nilpotente tal que
f o f*= f* o f . Probar que f=0. (sugerencia probar primero que f o f* = 0 )

tengo entendido q f estrella es f adjunta
bueno si alguien me puede ayudar, desde ya muchas gracias

Como f conmuta con su adjunta entonces \((ff^*)^n=f^n(f^*)^n=0\) porque f es nilpotente.
Ahora sea \(x \in V\) cualquiera, entonces \(0=<ff^*x,x>=<fx,fx>=||fx||^2\), luego fx=0. Como x es cualquiera f es 0.

hay un par de cosas q no entendi, puedo ver q ff* es nilpotente, pero no q sea cero de ahi, y otra cosa porque el producto interno de ffx con x da cero? eso es porque ya estas diciendo q ff es cero?¡

ah otra cosa mas, la matriz de f* es la matriz adjunta de la matriz de f? ponele q la llamo A a la matriz de f. la matriz de f* es adj (A) ??

La matriz de \(f^*\) es la matriz de f transpuesta conjugada, si la base que tomas es ortonormal.
Tenes razon, me comi una parte de la demostración.
Despues lo pienso y lo posteo.

dale, gracias

Ya está:
Llamemos \(g=ff^*\) entonces g es autoadjunta y en particular diagonalizable, entonces como es nilpontente y diagonalizable es 0.

Si no te crees algo avisa que esta parte de lineal no la tengo muy fresca.