Bueno, una duda que tuve ocurrió, y creo que finalmente resuelta. Y además, ¡el primer post en esta sección!
¿Existe un anillo \(A\) infinito tal que los únicos elementos que no son divisores del \(0\) son el \(1\) y el \(-1\)?
Si \(A\) es finito, el primer ejemplo que puede aparecer es \(\mathbb{Z}_{6}\), pues verifica \(2\cdot 3\eq=4\cdot 3\eq=0\). Como es conmutativo, se tiene que \(2,3,4\) son divisores del \(0\). Como \(1,5\eq=-1\), y no quedan más elementos no nulos, verifica lo que se pide.
Luego, consideramos \({\mathbb{Z}_{6}}^{\mathbb{N}}\eq=\{({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n},\cdots ): {a}_{n}\in \mathbb{Z}_{6}\forall n\}\) con la suma y producto coordenada a coordenada. Se verifican:
-\(({\mathbb{Z}_{6}}^{\mathbb{N}},+)\) es grupo abeliano de elemento neutro \({a}_{n}\equiv 0\), e inverso \(-{a}_{n}\) que tiene el inverso de cada coordenada.
-\(({\mathbb{Z}_{6}}^{\mathbb{N}},\cdot )\) es monoide, con \({a}_{n}\eq\equiv 1\) como elemento neutro.
Veamos que cada \({({a}_{n})}_{n}\neq 1,-1,0\), es un divisor del cero. En efecto:
-para cada \({a}_{n}\eq=2,3,4\), tomamos \({b}_{n}\eq=3,2,3\) respectivamente.
-por cada \({a}_{n}\eq=1,-1\), tomamos \({b}_{n}\eq=0\)
-por cada \({a}_{n}\eq=0\), tomamos \({b}_{n}\) cualquiera(no nos afecta)
De esta manera, el producto \({({a}_{n})}_{n}\cdot {({b}_{n})}_{n}\equiv 0\) , y \({({b}_{n})}_{n}\neq 0\) porque tiene alguna coordenada no nula.
Luego, \({a}_{n}\) es un divisor del \(0\), teniéndose \({\mathbb{Z}_{6}}^{\mathbb{N}}\) es un anillo como buscábamos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Hoy me señaló Quimey un error, y es que si \(1\neq -1\), el elemento \((1,-1,-1,\cdots)\) no podría anularlo si no fuera con el \(0\)
Debería decir \({\mathbb{Z}_{2}}^{\mathbb{N}\). Lo que puse es mentira(digo que existe alguna coordenada distinta del \(1,-1\). Ahi está el error). Pero con \({\mathbb{Z}_{2}}^{\mathbb{N}\) no pasa eso, dado que \(1\eq=-1\) y ejemplos como el señalado no existen.
Ahora si, otro ejemplo interesante; puedo contruir el anillo como se pide de cardinal tan grande como quiera:
Consideremos \(X\) un conjunto de al menos un elemento, definimos en \(\mathcal{P}(X)\) la suma \(\triangle\) y la multiplicación \(\cap\). Así definido resulta ser un anillo(es un ejercicio de la práctica 4), con la propiedad que \(-A\eq=A,\forall A\in \mathcal{P}(X)\), el neutro aditivo es \(\emptyset\) y el neutro multiplicativo \(X\). Luego, defino un nuevo anillo \({\mathcal{P}(X)}^{\mathbb{N}}\) que son las sucesiones de elementos de \(\mathcal{P}(X)\), donde la suma y el producto son coordenada a coordenada. Se verifica que \({X}_{n}\equiv \emptyset,{Y}_{n}\equiv X\) son el neutro aditivo y multiplicativo respectivamente.
Ahora solo resta ver que todos los elementos salvo el \({Y}_{n}\) son inversibles(aquí \(1\eq=-1\)). Esto es inmediato, pues si \({Z}_{n}\neq {Y}_{n}\), existe una coordenada que no es \(X\). Luego, en esa coordenada consideramos \(U\neq \emptyset\) tal que \(X\cap U\eq= \emptyset\)(esto es posible pues la coordenada elegida es un conjunto incluído estrictamente en \(X\)). En el resto de coordenadas colocamos \(\emptyset\), y tenemos un elemento no nulo que me anula al \({Z}_{n}\). Luego resulta ser un divisor del \(0\)
En particular, si \(|X|\eq=1\), resulta \({\mathcal{P}(X)}^{\mathbb{N}}\sim {\mathbb{Z}_{2}}^{\mathbb{N}\)
Creo que ahora no hay errores... creo.
Es interesante señalar que el cardinal de \({\mathcal{P}(X)}^{\mathbb{N}}\) es enorme(éstoy abusando de manera exagerada del término "enorme"), pues es \({|\mathcal{P}(X)|}^{|\mathbb{N}|}\eq={2}^{|X|{\aleph}_{0}}\eq={c}^{|X|}\geq c\).