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Sea \(G\) un grupo finito tal que \(\text{Aut}(G) = \{I\}\). Probar que \(G\) tiene a lo sumo dos elementos.
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Sea \(G\) un grupo de orden \(7 \cdot 11 \cdot 17\). Probar que \(G\) es cíclico.
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Sean \(M \in \mathbb{C}^{n \times n}\) una matriz y \(A := \{f(M) : f \in \mathbb{C}[X]\}\) la \(\mathbb{C}\)-álgebra generada por \(M\) dentro de \(M_n(\mathbb{C})\).
(a) Probar que \(M\) es diagonalizable si y sólo si \(A\) es un anillo semisimple.
(b) ¿Sigue siendo cierto esto si cambiamos \(\mathbb{C}\) por \(\mathbb{R}\)? -
En cada caso probar que los anillos \(A\) y \(B\) son isomorfos.
(a) \(A:=\mathbb{R}[X] / < X^4 - 1 >\), \(B:=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{C}\).
(b) \(A:= \mathbb{R}\{e_1,e_2,e_3,x,y\} / I\), donde \(I\) es el ideal bilátero generado por el conjunto \(\{e_ie_j - \delta_{i,j}e_i : i=1,2,3\} \cup \{e_1+e_2+e_3-1, x-e_1xe_2, y-e_2ye_3\}\), y \(B\) es el siguiente subanillo de \(M_3(\mathbb{R})\): \(B:=\left\{M \in \mathbb{R}^{3 \times 3} : M_{ij} = 0 \text{ si } i > j\right\}\).
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