Bueno, el ejercicio de Doppler. Me trajo varias complicaciones. Como no entendí nada lo que hizo el tipo en clase, lo tuve que resolver bajo el método Goldstein+Wikipedia+horas de agonía. Espero que ayude.
La idea, que saque del Goldstein, fue buscar un cuadrivector para las ondas, que tenga a \(\omega\) y a \(\vec{k}=k\hat{n}\) (n es la dirección de la onda). Después aplicando las transformaciones de Lorentz, sale el efecto Doppler y la aberración.
Todo esto es para onda de luz, por lo tanto, la velocidad de propagación es la velocida de la luz, que debe ser constante, entonces el cociente entre \(\omega\) y \(k\) debe ser constante (\(\frac{\omega}{k}=c\)), no importa en que sistema esté.
Defino al cuadrivector \(K= \left( \frac{\omega}{c} , \vec{k} \right)\)
Veo que el producto interno K.K es invariante Lorentz
$$K.K=\frac{{\omega}^{2}}{{c}^{2}}-{k}^{2}=0$$
Utilizando las transformaciones de Lorentz para la parte temporal