Considere una partícula sometida a un potencial de oscilador armónicon unidimensional. A t=0 la función de onda está dada por :
$$\Psi(x, t=0)=\frac{{\phi}_{0}}{\sqrt{2}} + \frac{{\phi}_{1}}{\sqrt{2}}$$
donde se ha puesto \(\hbar=m=\omega=1\) y donde \({\phi}_{0}\) y \({\phi}_{1}\) son las autofunciones de energía más baja \({\phi}_{0}=\sqrt[4]{\pi}{e}^{\frac{-{x}^{2}}{2}\) y \({\phi}_{1}=\sqrt{2} \sqrt[4]{\pi}x{e}^{\frac{-{x}^{2}}{2}\)
a) Calcular la probabilidad de encontrar a la partícula en x>0 en el instante inicial, es decir P(t=0, x>0)
b)Calcule <x> (t=0), <p> (t=0), y obtenga <x>(t), <p>(t) mediante el teorema de Eherenfest
c) Qué valores de energía pueden medirse en un instante t arbitrario y con qué probabilidad? ¿Cuánto vale <H>(t)?
d)En t=2\(\pi\) se mide la energía y se obtiene \(\frac{3}{2}\hbar\omega\)¿Cuánto vale P(t, x>0) a partir de ese instante?
bueno, la verdad que no terminé de hacer las cuentas de los primeros ptos. Pongo algunos resultados.
b)\(<x>(t)=\frac{1}{2} cos(\frac{\omega}{2\pi}t)\)
Usando el teorema de Ehrenfest, es decir \(\frac{\partial<x>}{\partial t}=\frac{<p>}{m}\), se encuentra fácil <p> derivando la rta anterior
c) bueno, supongo que las energías que pueden medirse son las de los dos autoestados, \(\frac{\hbar\omega}{2}\) y \(\frac{3}{2}\hbar\omega\), con la probilidad de cada una dada por su coeficiente, o sea \(\frac{1}{2}\) para cada energía.
d) acá tengo una duda, cuando mido esa energía, ¿la función de onda colapsa al autoestado con esa energía? En ese caso,¿ me quedaría que solo tengo \({\phi}_{1}\)? (esto, a su vez, cambiaría la constante de normalización previa, dado que ahora solo hay una autofunción). Si esto es verdad, calcular probabilidad se limita a laburar solo con la \({\phi}_{1}\), entonces la probabilidad da 1/2, porque el módulo de esta función al cuadrado es par.