[resuelto] 2ºP - 2ºC 2002 - Ej 2)

Considerar una partícula de masa m en el estado fundamental de un pozo inifnito de ancho l. A t=0 comienza a actuar un potencial \(V(t)={V}_{0}sen(\omega t)\) (de manera que la base del poso oscila con frecuencia \(\omega\) y amplitud \({V}_{0}\).
a) Muestre que la ecuación de Schrödinger que resulta es separable y escriba la parte espacial de la función de onda.
b) Proponga para la parte temporal una solución del tipo \({e}^{\frac{-i[Et+f(t)}{\hbar}}\) y obtenga f(t).
c) Calcule el valor medio de la coordenada x y de la energía e interprete los resultados.

Bueno, no voy a poner todas las cuentas, pero dada la siguiente ESDT:

propongo una solución separable de la forma \(\psi(x,t)=X(x)T(t)\)

y llego a que:

con \(k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

y E es la constante de separación, digamos. ASumí que era la misma E que aparece en la función propuesta para T.

Obtengo finalmente que

y acá tengo dos cosas... una es que sigo sin conocer E, y otra es que sigo sin usar la condición inciial. Lo que pensé es que, bueno, \(E=\frac{{\pi}^{2}{\hbar}^{2}}{2m{l}^{2}}\), es decir, la energía del estado fundamental del pozo infinito, la energía inicial de la partícula, digamos.
Lo que no me convence de esto es que estoy diciendo que la partícula en el nuevo potencial está a esa energía... y cómo estoy segura de que esa energía sea efectivamente una energía "permitida" del nuevo potencial? lo impongo así? propongo autofunciones tal que su autoenergía sea la energía inicial?

bueno, desde ya os agradezco su atención y su ayuda 😉

edit: no lo aclaré, pero todo esto que dije vale dentro del pozo... fuera del poso \(\psi(x,t)=0\)

Uff medio raro. Creo que lo mejor es cerrar un poco los ojos y dejar que la matemática haga lo suyo.

Vos llegaste a \(\psi(x,t)=X(x)T(t)\), la expresión para la energía tiene que salir de las condiciones de contorno en x que valen para todo t (queda igual que para pozo infinito sin nada raro en el tiempo).

Entonces llegamos a unas \({\psi}_{n}(x,t)\), la solución general va a ser una combinación lineal de esas funciones. Para sacar los coeficientes de esa combinación utilizas la condición inicial (*).

Una vez que están los coeficientes el valor medio de la posición y la energía se calcula viendo el valor medio de sus respectivos operadores.

(*)= \({c}_{n}=<\psi(x,0), {\psi}_{n}(x,t)>\) (es sacar coordenadas para una base ortnonormal)

Claro, b uenísimo. Ahí le cambio a resuelto 😉