Sea El teorema de la divergencia dice: sea \(\vec{F}:\Omega \subset \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) Campo \(C^1\)
(Claro, sobre todo en los "puntos" donde hay cargas) Con \(\Omega\) Dominio acotado de \(\mathbb{R}^3\) (Por ejemplo todo el espacio)cuyo borde sea una superficie cerrada de clase \(C^1\) y orientable.
Entonces: \(\iiint_{\Omega} \nabla \bullet \vec{F} dx.dy.dz=\iint_{\partial \Omega}(\vec{F}\bullet \vec{v})\)
Dónde \(\vec{v}\) es el vector normal exterior unitario
Donde
Partiendo de la siguiente identidad \(\nabla \bullet (\vec{E}.V)=(\nabla \bullet \vec{E}).V + \vec{E} \bullet (\nabla V)\)
No sé las hipótesis ni nada pero bueno.
En cada término uso que:
1)Uso el teorema de la divergencia para todo el espacio:
2) Teorema de Gauss: \(\nabla \bullet \vec{E}=\nabla \bullet \nabla{V}={\nabla}^2{V}=-\frac{\rho}{\epsilon_{o}}\)
3)\(\vec{E} \bullet (\nabla V)=\vec{E} \bullet \vec{E}=|E|^2\)
Ahora tomo límite al infinito y se me anula La integral doble y me queda la igualdad puesta más arriba.
Pregunta:
¿xq es lícito usar el teorema de la divergencia?
¿Xq sólo se me anula sólo la integral doble?, pero por algo más creible que
$$V \sim \frac{1}{r}$$
$$\vec{E} \sim \frac{1}{r^2}$$
$$\vec{v} \sim r^2$$
entonces
$$(\vec{E}.V)\bullet \vec{v} \sim \frac{1}{r}$$
y cuando \(r \rightarrow \infty\) la integral se anula por que:
\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx \neq 0\)(Bah!, creo, nunca entendí bien integrales impropias.)
En fín espero que me puedan aclarar las dudas desde ya, gracias. Saludos.
Teorema de Gauss: \(\nabla \bullet \vec{E}=\nabla \bullet \nabla{V}={\nabla}^2{V}=-\frac{\rho}{\epsilon_{o}}\)
Un detalle primero, ahí no usas el teorem de Gauss, usas una de las dos ecuaciones fundamentales de la electróstica, la de Poisson más precisamente.
Otro detalle, la integral del final sí se hace cero.
\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx = -\frac{1}{{a}^{2}} +\frac{1}{{b}^{2}}\) donde \(a\) se va a infinito y \(b\) a menos infinito, por lo que cada parte se hace cero, por lo tanto la integral es cero.
Pensá que la integral que hacés es de *flujo*, es como si estuviese viendo cuanta agua pasa por una superficie, y si la cantidad de agua está determinada por una función que va como \(\frac{1}{r}\) y \(r\) es muy muy grande, com que no va a estar pasando nada de agua. Si querés convencerte: vos sabés como es \(\vec E\) y \(V\), hace la integral, para un esfera (no sé como hacerla para una superficie arbitraria, pero es para darte una idea) y fijate que cuando el radio de la esfera es muy grande la integral se va yendo a cero, eso lo podés hacer.
Firma
When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Gracias, Pato está buena la idea de pensar al campo como un flujo. Lo del teorema de gauss, la ecuación
de poisson no es la ley de gauss pero reemplazando el campo por el potencial?.
Lo de la integral impropia me parece que vale si tomamos a=b sino no sé que tan verdadero es pero
se entiende igual me cuesta un poco ver xq las otras no se anulan y por que si E.V no está definida en tod
el espacio vale el teorema de gauss. Aunque hablé con belén sobre eso y me dijo qeu era por que las cargas
no eran puntuales, igual me parece que tegno que tomar un buen libro me parece que voy a sacar el
Griffith. A propósito, vos entendiste cuando definio el P tal que su inversa es el C. Lo que no entiendo
es que normalizo la integral para olvidarse de la dependencia con respecto de las cargas pero despues
no uso la misma integra sino la integral de densidad dividido el pootencial, eso sigue valiendo?.
Espero ser claro sino escribo la fórmula en cuestión. Gracias, nos vemos cuidate.
Tanto E como V, están definidas en todo el espacio (más aún V es continua)
Las integrales que no se te anulan fijate que son integrales en volumen, aunque las funciones sean muy chicas en los bordes de tu volumen la integral sigue valiendo algo. Pensá en la campana de Gauss, cuando x se va más o menos infinito la función tiende a cero, pero la integral entre más y menos infinito es 1, creo que es similar a lo que pasa acá.
Sobre la matriz P y C, como lo definieron en clase con esas integrles a mí no me quedo muy claro. Un buen libro es el Jackson, yo había leído de ahí y me gustó (le da a full con la matemática). El tipo llega a la relación Q=CV, donde la matriz C sólo depende de la geometria del problema, pero no llega a definirla explícitamente, no me acuerdo muy bien como llegaba a esto, cuando lo repase te puedo dar una mejor respuesta.
Fijate que: \({|E|}^{2}\) es siempre positivo (siempre que haya campo eléctrico), por lo que su integral volumétrica también será positiva y mejor aún distinta de cero, por lo que la otra integral volumétrica también debe ser distinta de cero, para mantener la igualdad.