Recién salidito del horno... Tantas veces que usé este foro, me parece bien aportar algo (por no decir que ya era hora 😛 ).
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25 ptos.
a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Tchebichev.
b) Enuncie y demuestre la Ley de los Grandes Números.
c) Sea \(X_1\), ... , \(X_n\) una muestra aleatoria de variables aleatorias Bernoulli tales que \(P(X_i=1)=p\) y \(P(X_i=0)=1-p\), siendo \(p\in (0,1)\) un valor desconocido. Sean \(S_n = X_1 + ... + X_n\) y \(t>0\). ¿Cuán grande debe ser n para que \(P(|\frac{S_n}{ n} - p| \geq t)\leq 0,001\) independiente del valor de p (desconocido)? -
20 ptos. Sean \(X_1\), ...,\(X_n\) v.a.i.i.d con distribución Poisson de parámetro \(\lambda\).
a) Halle el estimador de máxima verosimilitud de \(\lambda\).
b) Halle el estimador de máxima verosimilitud de \(P(X=0)\). -
25 ptos. Juan y Pinchame combinan para encontrarse en el río entre las 14 y las 15 horas, dando por entendido que ninguno esperará al otro más de 15 minutos. Asumir que iguales intervalos de tiempo tienen asignados iguales probabilidades de llegada y que ambos actúan de forma independiente.
a) Halle la probabilidad de que Juan llegue antes que Pinchame.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y Pinchame se encuentren?
- 30 ptos. Sean \(X_1\), ..., \(X_n\) v.a.i.i.d. con distribución \(N(\mu,\sigma_0^2)\) con \(\sigma_0^2\) conocida.
a) Halle el estimador de máxima verosimilitud de \(\mu\). Llame \(\hat{\mu}\) al estimador obtenido. ¿Cuál es la distribución de \(\hat{\mu}\)? Justifique.
b) Suponga que se desea realizar un test de hipótesis para testear \(H_0:\mu=\mu_0\) vs \(H_1:\mu > \mu_0\). Proponga un test de nivel exacto \(\alpha\) para decidir entre las dos hipótesis y muestre que el test propuesto tiene el nivel deseado.
c) Sea \(\mu_1 > \mu_0\) un valor fijo. Calcule la probabilidad de no rechazar \(H_0\) cuando en realidad \(\mu=\mu_1\) y exprésela en términos de alguna función de distribución conocida.
d) ¿Cuál es el límite de la probabilidad calculada en c) cuando \(\mu_1 \rightarrow \infty\)?
FIN. 🙂