Final del 13/11/2012

a) Enunciar y demostrar la fórmula de la probabilidad total y el Teorema de Bayes.
b) Mientras mirás un partido de River - Boca en el bar del Pabellón II descubrís que la persona sentada en una mesa vecina claramente es hincha de River. Calcular la probabilidad de que esta persona haya nacido a menos de 10km de la cancha de River, asumiendo que:
i) La probabilidad de que una persona elegida al azar en un bar del Pabellón II haya nacido a menos de 10km de la cancha de River es \(\frac{1}{20}\)
ii) La probabilidad de que una persona nacida a menos de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es \(\frac{7}{20}\).
iii) La probabilidad de que una persona nacida a más de 10km de la cancha de River sea hincha de este club es \(\frac{1}{10}\).

2. Sea \((X, Y)\) un vector aleatorio con distribución uniforme en el rectángulo de vértices \((-1, 1), (2, 1), (2, -2), (-1, -2)\).
   a) Calcular la función de densidad conjunta del vector \((X, Y)\) y sus distribuciones marginales. ¿Son las variables \(X\) e \(Y\) independientes?
   b) Calcular \(\mathbb{E}[XY]\).
   c) Calcular \(\mathbb{P}[X + 2Y \le 2]\).

3. Sean \(X_1, \dots, X_n\) i.i.d. con distribución \(U(0, \theta), \theta > 0\).
   a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de \(\theta\).
   b) Hallar el estimador de momentos de \(\theta\).
   c) Definir el error cuadrático medio de un estimador (ECM) y expresarlo en función de la varianza y el sesgo del estimador.
   d) ¿Cuál de los dos estimadores (momentos o máxima verosimilitud) elegirías en base al criterio de minimizar la ECM?

a) Enunciar el Teorema Central del Límite. Enunciar y justificar la aproximación a la distribución binomial por una distribución normal.
b) Sea \(X_1, \dots, X_n\) una muestra aleatoria con distribución Bernoulli de parámetro \(p\). Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado \(1 - \alpha\) para \(p\).
c) Plantear un test de hipótesis de nivel aproximado \(\alpha\) para las hipótesis:

definiendo el estadístico usado y la región de rechazo.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Hola!. Antes que nada gracias por postear un examen tan nuevo!!

Yendo al examen, tengo una duda en el 1.b. Los subitems i, ii y iii representan sub-ejercicios por separados o todos juntos forman las condiciones para calcular la prob?
No puedo resolver ese punto 🙁

Gracias!!
Gonzalo

Hola!

Todas forman parte de las condiciones del punto b), es decir, asumís todas juntas para calcular b).

Para resolverlo, llamá X al evento "Nació a menos de 10km", e Y al evento "Es hincha de River".

Vos querés \(P(X \mid Y)\). Por definición (o por Bayes), \(P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}}\).

Para calcular esto, podés usar que iii) te dice \(P(Y \mid X)\), que es \(\frac{P(Y \cap X)}{P(X)}\). Entonces tenés eso, y tenés \(P(X)\) por i).
Te faltaría encontrar \(P(Y)\). Para eso, fijate que ii) e iii) te dice \(P(Y \mid X)\) y \(P(Y \mid \lnot X)\). Entonces, como \(\{X, \lnot X\}\) particiona el espacio, sabés por probabilidad total que \(P(Y) = P(Y \cap X) + P(Y \cap \lnot X) =\)\(P(Y \mid X) . P(X) + P(Y \mid \lnot X) . P(\lnot X) = P(Y \mid X) . P(X) + P(Y \mid \lnot X) . (1 - P(X))\). Vos tenés \(P(Y \mid X)\) por ii), tenés \(P(Y \mid \lnot X)\) por iii), y \(P(X)\) por i). Luego podés calcular \(P(Y)\), y resolver el ejercicio.

Cualquier cosa chiflá.

una pregunta, el teorema central del limite se puede probar de otra forma que no sea usando la funcion generadora de momentos?

Si se puede, yo no sé cómo.

La demo que usé cuando estaba estudiando está acá. Igual en el final no pedían demostrar, sólo enunciar.