Encontrar la direccion en que la funcion \(z = x^2 + xy\) crece mas rapidamente en el punto \((1,1)\)
Se que la direccion en la que mas rapido crece es en la que apunta el gradiente, pero no se como plantear el ejercicio para llegar a eso
está bien si planteo lo siguiente:
tengo que encontrar \(v_0\) tal que para todo \(u\)
\(\frac{\partial f}{\partial u} (x_0 , y_0) \leq \frac{\partial f}{\partial v_0} (x_0 , y_0)\) y \(|| v_0 || = 1\)
está bien planteado esto? o estoy mandando fruta?
Tema
practica 3, ejercicio 24
Fijate...
$$\frac{\partial f}{\partial V}(X) = f_V(X) = < \nabla f_X, V >$$
Tenemos que \(V\) es la dirección de la derivada. Vos querés ver qué dirección hace que sea la de mayor crecimiento. Primero veo cuál es el máximo valor que podría alcanzar \(f_V\) acotando superiormente...
\(< \nabla f_X, V > \leq ||\nabla f_X|| ||V|| = || \nabla f_X||\), porque \(V\) es unitario.
De acá sacás que como mucho, alcanza este valor, ahora hay que ver para qué valor de \(V\) se alcanza efectivamente ese valor.
Hasta acá la idea, abajo la solución.
Bueno, la idea es que agarrás la dirección de \(\grad f_X(1,1) = (3,1)\), cómo mostrás eso? Así... elegís \(V = \frac{\nabla f(1,1)}{||\nabla f(1,1)||}\), así te asegurás que es unitario (lo normalizás).
$$< \nabla f(1,1), \frac{\nabla f(1,1)}{||\nabla f(1,1)||} > = \frac{\nabla f^2(1,1)}{|| \nabla f(1,1)||} = \nabla f(1,1)$$
Entonces ese valor es el máximo.