Analizar la existencia de límite en el origen para
$$f(x,y) = \frac{e^{x^2 + y^3} - 1}{xy - x +y^2}$$
Primero averiguo cuanto vale \(f(0,0)\); Como \(f(0,0) = \frac{0}{0}\) me fijo por el límite a donde debería tender, para eso elijo una recta que pase por \((0,0)\), por ejemplo \((0,y)\). Calculo entonces \(\lim_{y \to 0}{\frac{e^{y^3} - 1}{y^2}}\)
El teorema del valor medio dice que \(| f(a) - f(b) | = f'(c)|a - b|\), con \(c\) entre \(a\) y \(b\) si \(f\) es derivable.
Como \(e^x\) es derivable, uso el TVM y digo que \(| e^{x^2 + y^3} - e^{0^2 + 0^3} | = e^c | x^2 + y^3 - 0^2 - 0^3 |\) con \(0 \leq c \leq x^2 + y^3\) pues como estoy en un entorno del \((0,0)\) puedo decir que \(y < 1 \, \wedge \, x < 1 \, \implies \, x^2 > y^3\)
Como \(e^x > 0 \; \forall \, x \in \mathbb{R} \implies \exists \, c \in \mathbb{R} / |y-1| < e^c\) donde ese \(c\) es el \(c\) que me sale del TVM
Como \(|x| \leq \|(x,y)\| \, \wedge \, |y| \leq \|(x,y)\|\)
la ultima cota esta mal \(\frac{e^c | x^2 + y^3 |}{| xy - x +y^2 |} \leq<br />\frac{e^c |x^2| + |y^3|}{|x||y - 1| + |y^2|}\) igual no sabia se usaba lo del valor medio para esto xd. Fijate q tu denominador del primer termino es MENOR que el del segundo por eso esta mal
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"No soy como aquel chabón, que jotraba a lo cartón yugando de papeleta, y se morfa la boleta acompañado de un garrón"