Hola, el de demostrar que una bola es un conjunto abierto lo entiendo, no me sale este: 
Gracias!
Firma
"No soy como aquel chabón, que jotraba a lo cartón yugando de papeleta, y se morfa la boleta acompañado de un garrón"
Tema
[No Resuelto] P:1 - Ej. 21 ii)
Graficalo y buscá un radio que haga que para cualquier punto genérico que cumpla con la ecuación, la bolita centrada en ese punto de radio r, va a estar enteramente contenida en el conjunto.
Por ejemplo un radio podría ser la mitad de la distancia mínima entre el punto genérico \(P \in R^2\) y la recta \(y = 1 -2x\) que es la parte "acotada" de tu conjunto , es decir \(r= \frac{min\lbrace d(X,P) : 2x+y=1 \rbrace}{2}\) con \(P\) un punto genérico del interior.
Rush escribió:
Graficalo y buscá un radio que haga que para cualquier punto genérico que cumpla con la ecuación, la bolita centrada en ese punto de radio r, va a estar enteramente contenida en el conjunto.
Por ejemplo un radio podría ser la mitad de la distancia mínima entre el punto genérico \(P \in R^2\) y la recta \(y = 1 -2x\) que es la parte "acotada" de tu conjunto , es decir \(r= \frac{min\lbrace d(X,P) : 2x+y=1 \rbrace}{2}\) con \(P\) un punto genérico del interior.
El radio me las ingenié para encontrarlo, pero con solo encontrar el radio ya demostré q es abierto?
Técnicamente no. Ahora tenés que ver que para todo punto de la bolita de radio \(r\) (ése que encontraste) centrada en \(P\), pertence al conjunto que te dieron, es decir, que satisface la desigualdad. Eso probaría que \(B_r(P) \subset A\), con \(A\) el conjunto del enunciado. Con eso probás que es abierto.
En general probar esto último puede ser bastante difícil, con lo que el ejercicio se reduce a encontrar un radio que cumpla. Si podés convencerme de que ese radio cumple, ya está bien.