[RESUELTO] P:2 - Ej. 18 b)

Hay qye estudiar la continuidad de las siguiente función en los puntos (1,0) y (0,2):

b)

Ahora bien, sabiendo que la función módulo, los polinomios y las exponenciales son funciones continuas, y que en los puntos dados nunca x=y=0, yo creo que son continuas. En ese caso, debería poder acotar los límites y ver que dan lo mismo que la función en el punto. Pero cuando llega el momento no lo sé acotar. (Digo, necesito hacerlo por definición, ¿no?, porque por el álgebra de límites no lo puedo separar en límites de una variable)

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Deberías ver que la distancia de f al límite es tan chica como vos quieras. Eso lo lográs acotando como dijiste.

Se me ocurre para el caso \(P=(0,2)\) que podés usar que
\(y^x = e^{x\,ln\,y}\) , y que como \(y > 1 \Longrightarrow |ln(y)| < |y|\)

Buenísimo, ahora pruebo a ver si sale. La estoy cursando en verano por primera vez, y estoy teniendo problemas con los tiempos (para llegar a hacer los ejercicios), así que no le dedico demasiado tiempo a cada uno (y así y todo estoy atrasadísimo).
Mil gracias.

Ahora que lo leo mejor, es menos complicado. Fijate que \(f\) está partida en el origen, es decir que como está definida "a mano" para \(P_o = (0,0)\), habría que ver si, en efecto el límite de \(f\) cuando \((x,y)\) tiende a \((0,0)\) es \(f(P_o) = f(0,0) = 1\). Eso garantiza que es continua en \(P_o\), por definición. Pero... no te piden evaluar continuidad en \((0,0)\) xD

Esto indica que por todo lo que dijiste antes (que el módulo, polinomios y exponenciales son continuos), entonces \(f\) también es continua en entornos de \((1,0)\) y \((0,2)\), porque ahí \(f\) está perfectamente definida.

Así queda bien justificado que lo único que hay que hacer es simplemente evaular la función en esos puntos y ver cuánto da.

Ahora si te pidieran evaluar continuidad en el origen, ahí sí, sería por definición y empezar a acotar.