Quiero ver que la función es continua en (x,y) = (1,0)
$$f(x,y)=\frac{x-y}{x^2+y^2}$$
Tema
Práctica 2 - Parte del ejercicio 18a
Que es lo que planteaste? donde te trabaste?
Firma
Quimey
Se que \(\delta>||(x,y)-(1,0)||>|x-1|,|y|\) y que \(\frac{y^2}{x^2+y^2}<1\) (lo mismo para x).
Creo que usando esas cosas deberia salir...pero no se como usarlas bien, porque no llego a ninguna lado. No consigo algo que valga la pena mostrarte.
Me parece que tu problema está en la definición de límite. Concentrate en entender la relación \(\varepsilon-\delta\). No te va a servir de mucho que te haga el ej. si no entendés eso.
Lo que quiero ver es que dado un \(\varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } \|(x,y)-(1,0)\|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-1| < \varepsilon\). La idea entonces es acotar \(|f(x,y)-1|\) hasta llegar a algo menor que \(\delta\), pero no se me ocurre cómo. Creo que la idea está bien y lo que me falta es saber cómo acotar, no? Alguna ayuda para acotar? (mirá mi nick 😛)
El denominador tiende a 1, con lo cual eligiendo delta adecuadamente podes suponer que es mayor que un medio, despues te falta acotar el numerador que es un polinomio (no deberías tener
problemas).
Creo que entendi...puedo decir que el denominador y el numerador tiende a uno (ambos trivial, reemplazando) . Entonces como el limite de la division es la division de los limites, f(x,y) tiende a uno.
No hace falta acotar nada porque nada se indefine, no?
No hace falta acotar, pero te recomiendo hacerlo en este ejemplo fácil así vas tomando práctica.