yo otra vez... si si... me esta costanto esto!! me pueden ayudar?
sean a0, b0 perteneciente a los reales tales que a0>b0>0. se considera la sucesiones definidas en forma recurrente.
\(an+1=\frac{an+bn}{2}\) y \(bn+1=\sqrt{an.bn}\)
demostrar :
a) an> bn. esto no me sale... esto es lo mismo que probar que an+1> bn+1 ?? me queda algo horrible y no se comom seguir
b) an es decreciente . esto lo demostre con que an+1< an y la condicion que sale es que esto es cierto si an>bn. y para ello necesito demostral el item a que no me sale.
gracias!
Y claramente esto último pasa.
Observación II: Para pasar del segundo al tercer renglón uso que \({a}_{n},{b}_{n}>0\). Si esto no fuera cierto, sólo vale "\(\Rightarrow\)" (por ejemplo, si \({a}_{n}=-1\) \({b}_{n}=-3\) vale el tercer renglón pero no el segundo).
Consejo: No te quedés mucho en la práctica 1. Si seguís Matemática, estás cosas las vas a ver bien en Taller de Cálculo Avanzado, y si no, no sé que tanto te va a servir para tu carrera. Y no son cosas que se tomen en la materia (capaz algo en el final, pero falta mucho para eso)
Apenas den los temas de la práctica 2 empezá con esa que te va a servir para el parcial.
ahhh habia llegado a eso y no se me ocurrio ponerlo como la direferencia al cuadrado y no llegaba a ningun lado. Muchas garcias de verdad! ( creo que llevo mas de dos horas con este ejercicio) soy de quimica y me esta costando horrores esto.
Entonces una vez demostrado que an>bn el apartado b que pide demostrar que an es decreciente y bn creciente quedaria:
Si an es decreciente entonces \(an+1<an\) que es lo mismo que \(\frac{an+bn}{2}<an\) despejando queda que \(bn<an\) que es justamente lo que demostraste en el post anterior. lo mismo con bn+1>bn queda que esto es cierto si bn<an que fue demotrado
c) demostrar que an y bn son convergentes, y que sus limites son iguales
an es monotona decreciente ( lo demostramos antes) y esta acotada por bn . bn es monotona creciente y esta acotado superiormente por an. Esto es suficiente para decir que ambas sucesiones tienen limite finito y convergen?
En el caso de que exista el limite. lo llamo L
\(\lim_{n \rightarrow \infty}an+1=\lim_{n \rightarrow \infty}an\) entonces \(L=\frac{L+bn}{2}\) entonces \(L=bn\)
si hacemos lo mismo con la sucesion de bn te da que el limite es an. es decir an converge a bn y bn converge a an. Falta decir algo mas para justificar la existencia del limite? me re extendi. perdon!!
si, puse cualquiera. es cierto que el limite no puede ser una suciesion. gracias por la correccion 🙂
Con lo que pusiste vos. demostramos que ambas sucesiones tienen limite pues son monotonas y acotadas. Como demostramos que esos limites son iguales?
graciasss
Algunas cosas que podés decir:
Vale para ambas sucesiones, lo escribo para \({a}_{n}\).
\({a}_{n}\) es decreciente y está acotada inferiormente por \(0\)
\(\Rightarrow {a}_{n} \longrightarrow L \geq 0\) (\(L \in \mathbb{R}\)).
Además, \(\texttt{lim}\,{a}_{n}= \texttt{lim} \,{a}_{n+1}\)
Ahora hay que hacer más o menos lo que dijiste vos.
Supongamos que \({a}_{n} \longrightarrow L\) y \({b}_{n} \longrightarrow M\) (\(L,M \geq 0\))
Tomando límite en la fórluma de ambas sucesiones (lo podemos hacer porque ya sabemos que los límites existen y son números reales), tenemos que
\(L=\frac{L+M}{2}\) y \(M=\sqrt{ML}\)
De la segunda fórmula sacás que \(M=L\) si \(M \neq 0\) (Paso la raíz y después \(M\) dividiendo)
Y si \(M=0\), de la primer fórmula sale que \(L=0\) también.
gracias ! gracias a los dos. Entendi jeje. me cuestan mucho estos ejercicios y mira que me fue re bien en analisis del cbc pero esto es completamente diferente.
un saludo