Practica 1 ejercicio 16

Sea \(a_0 > 0\). Se define la siguiente sucesión dada por recurrencia:

Probar que \({\{ {a}_{n} \} }_{n}\) es una sucesión convergente y calcular su limite

Se que una sucesion converge si es acotada y monotona
en este caso, la funcion seno es acotada, como pruebo que es monotona? deberia ver que
\({a}_{n+1}>{a}_{n}\) o \({a}_{n+1}<{a}{n}\) para algún n?

Antes que nada, para tener alguna idea, es bueno probar un poco con algunos valores para ver qué pasa con el resultado(vale decir, calcular \(\sin({a}_{1}),\sin(\sin({a}_{1}))\) y así).
El teorema del valor medio dice, para un función \(f\) buena(esto es, continua en un intervalo \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), condiciones que la función \(\sin\) cumple) vale para \(x,y\in [a,b]\) que \(f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)\) con \(c\in (a,b)\). Aplicado a este caso:

Con esta último igualdad el ejercicio está más o menos encaminado; hay que terminarlo usando un argumento inductivo(la idea de aplicar ahora el mismo razonamiento con la diferencia \({a}_{n}-{a}_{n-1}\)).

Lo que dije antes, lo de usar el valor medio, es útil, pero en este caso, se puede recurrir a un resultado más práctico. Consideramos \({a}_{1}>0\) y tomamos \({a}_{2}=\sin({a}_{1})\). Nos preguntamos si \({a}_{1}\leq {a}_{2}\) o \({a}_{1}\geq {a}_{2}\)(podría no ocurrir alguna de las dos). La pregunta anterior se traduce en ver si \({a}_{1}\leq \sin({a}_{1})\) o \({a}_{1}\geq \sin({a}_{1})\). Esta nueva pregunta la podemos traducir, si \(\sin({a}_{1})\neq 0\), en \(\dfrac{{a}_{1}}{\sin({a}_{1})}\leq 1\) o \(\dfrac{\sin({a}_{1})}{{a}_{1}}\leq 1\). Recordando la desigualdad \(-1\leq \dfrac{\sin(x)}{x}\leq 1\), queda que vale \(\dfrac{\sin({a}_{1})}{{a}_{1}}\leq 1\) y por lo tanto \({a}_{2}\leq {a}_{1}\). En general, queremos ver \({a}_{n+1}\leq {a}_{n}\) o sea \(\sin({a}_{n})\leq {a}_{n}\). Con el mismo razonamiento que antes, se tiene \({a}_{n+1}\leq {a}_{n}\) si \(\sin({a}_{n})\neq 0\). Si ocurriera por alguna razón que \({a}_{n}=0\) para algún \(n\) entonces \(\sin({a}_{n})=0\) y los próximos términos serían todos nulos con lo que la sucesión a partir de un momento sería constantemente \(0\) y una sucesión así es convergente. Si nunca \({a}_{n}=0\) entonces por lo anterior \({a}_{n+1}\leq {a}_{n}\) para todo \(n\) luego se trata de una sucesión decreciente acotada y por lo tanto resulta convergente.

Perdón si me extendí demasiado. Cualquier duda comentá.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities