Les escribo porque tengo una consulta en el ejercicio que pide estudiar continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de algunas funciones, entre ellas:
Pero hay un cero dividiendo que sería la \(x\) en la parte \(arctan \( \frac {y}{x} \)\), para colmo no es que tiende a cero, sino que es un cero que divide. ¿Eso quiere decir que no existen las derivadas parciales para \(x\)?
Luego las de \(x\) dan siempre cero, pero como no existen las de \(y\) ¿Entonces tampoco es diferenciable?
Creo que encontré el error, estoy evaluando mal. Pues la función partida dice que si \(x=0\) la función da cero sin importar lo que tenga, entonces las dos derivadas parciales me dan cero.
Ahora como las derivadas parciales me dan cero y el evaluar en el origen también da cero al ver el límite para el diferencial de la función me vuelve a dar el límite que calculé antes para la continuidad pero dividido la norma, como ese límite da cero y esta dividida por la norma que esta acotada (¿Siempre?) entonces lo separo y uso cero por acotada que también da cero y es diferenciable. ¿Fui muy rápido?
Claro, lo hacía por definición, pero sigo con los preguntas:
el límite sería: \(\lim \frac{x.sen(4.arctg(\frac{y}{x}))}{\left \| x,y \right \|}\)
Si tomo como cota del seno a uno, no me sirve porque se me va delta, dado que puedo acotar \(x\) por su norma por ejemplo (¿O eso quiere decir que el límite es uno?). Entonces veo que tengo que tomar que el seno es menor que el ángulo, entonces me queda
Luego acoto \(x\) por su norma y la cancelo con la norma de abajo y tengo:
$$\lim {4.arctg(\frac{y}{x})}$$
Acá es fácil ver rectas de la forma \(y=mx\) donde con distintos \(m\) tengo distintos valores, entonces el límite no existe, luego no es diferenciable.
¿Esta bien o estoy manando fruta? La verdad es que después de tantos ejercicios me doy cuenta que me equivoco muy seguido....
Me parece que el limite no existe, pero tu demostración está mal. Por qué no probás con las rectas esas al principio, antes de acotar. Si de esa manera te da que no existe entonces no existe.
Hola!
Recién me doy cuenta que me había equivocado con lo de las derivadas parciales xP!!
Así que ahora yo también ando tratando de acotar para llegar a ver q es diferenciable...
A mi se me ocurrió hacer lo siguiente: acotar el arcotangente por \(\frac{\pi}{2}\)(gracias wikipedia! xD)...entonces queda:
y el \(sen(4.\frac{\pi}{2})\) es el seno de \(2\pi\), q es 0, entonces me queda
\(\frac{\vert x.sen(4.arctg(\frac{y}{x})\vert}{\left \| x,y \right \|} \leq 0\) !!
Y así me queda que el límite es 0, y entonces me queda que SI es diferenciable...Está bien lo que hice???
Y como comentario Andyvec, cuando acotas y te queda \(\leq\) a un numero NO significa q ese sea el límite!! solo q el limite va a ser menor q ese numero... y lo mismo si te queda \(\leq\) a algo cuyo limite no existe, no significa nada :/...
Lo que si que si te da \(\leq 0\) ahi si significa que el límite es 0, por la propiedad del sandwich 😛
(q alguien me corrija si estoy equivocada)
Tenés razón Quimey!! Mandé cualquiera con la cota xP... O sea al principio pensé que como el arcotangente estaba entre \(-\pi/2\) y \(\pi/2\), podía acotar el seno porque en ese intervalo el seno era creciente, pero claro, el 4 que está multiplicando me cambia la cosa ... Así que mejor no dije nada xD...
Recién hice el límite acercándome por rectas y da distinto, como dijiste
¡¡Muchas gracias!! 😄